Springen naar inhoud

Lengte rationale getallen op een rechte.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 13 februari 2009 - 19:14

Wat is de lengte van al de rationale getallen op een rechte?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2009 - 20:36

Een getal heeft geen lengte (in tegenstelling tot een lijnstuk), tenzij je het aantal decimalen bedoelt waarin een bepaald getal kan worden weergegeven.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#3

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 13 februari 2009 - 21:10

De rationale getallen liggen op een as en die as heeft een oneindige lengte waarvan de rationale getallen een deel zijn. Ik wil wel meegeven dat de rationale getallen aftelbaar zijn.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#4

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 februari 2009 - 22:03

Wat bedoel je met de lengte van ťťn getal?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#5

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2009 - 23:17

Bedoel je soms de maat? measure?
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#6

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 14 februari 2009 - 08:28

Bedoel je soms de maat? measure?

Ja.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#7

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2009 - 11:10

Dat is 0, omdat de rationale getallen aftelbaar(countable) zijn.
Dus: De integraal van 0 tot 1 van de functie f(x)={1 als rationaal,0 als irrationaal) is 0.
Dus de lengte van alle rationalen op de reele rechte is 0.
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

#8

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2009 - 16:28

Dat is 0, omdat de rationale getallen aftelbaar(countable) zijn.
Dus: De integraal van 0 tot 1 van de functie f(x)={1 als rationaal,0 als irrationaal) is 0.
Dus de lengte van alle rationalen op de reele rechte is 0.

Zelf zou ik liever de conclusie "dus de verzameling rationale getallen is een nulverzameling, omdat deze verzameling maat 0 heeft" willen gebruiken, en zou ik het begrip lengte liever voor een omschrijving van lijnstukken of intervallen willen gebruiken.
Wellicht ten overvloede, maar toch wel vermeldenswaard: een aftelbare verzameling is inderdaad een nulverzameling, dus een verzameling met maat 0, maar het omgekeerde geldt niet. Er bestaan namelijk ook ovedraftelbare nulverzamelingen.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#9

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 14 februari 2009 - 18:28

De conclusie kan wel juist zijn.
Toch vind ik het bewijs toch maar mager.
Wat is hier het verschil tussen maat en lengte?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#10

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 februari 2009 - 19:09

De conclusie kan wel juist zijn.
Toch vind ik het bewijs toch maar mager.
Wat is hier het verschil tussen maat en lengte?

Onder een maat op een verzameling V verstaan we een afbeelding van V naar LaTeX . Met behulp van de Lebesgue-maat kun je de lengte van een open interval LaTeX definiŽren als b-a. Stel dat q een rationaal getal is, dan kunnen we LaTeX dus een lengte LaTeX toekennen. Voor LaTeX kunnen we dan stellen dat dit de lengte van q voorstelt. Je kunt dus stellen dat een maat een functie is die het mogelijk maakt om de lengte van een open interval te definiŽren. Voor verdere details over de Lebesgue-maat verwijs ik je naar http://nl.wikipedia....i/Lebesgue-maat

Veranderd door mathreak, 14 februari 2009 - 19:11

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#11

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 14 februari 2009 - 21:45

Ik probeer dit op mijn manier te bewijzen.
Daar de rationale getallen aftelbaar zijn kan ik ze zo voorstellen:LaTeX
Zij LaTeX een willekeurig klein getal.
Ik neem nu rond LaTeX een omgeving kleiner dan LaTeX , rond LaTeX een omgeving kleiner dan LaTeX enz.
Ik tel nu al die omgevingen op. Gebruikmakend van een meetkundige reeks met reden 1/2 vind ik LaTeX .
Dus de som van al die omgevingen is kleiner dan een willekeurig klein getal of in de limiet 0 w.m.b.w.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 februari 2009 - 11:38

Dat is 0, omdat de rationale getallen aftelbaar(countable) zijn.
Dus: De integraal van 0 tot 1 van de functie f(x)={1 als rationaal,0 als irrationaal) is 0.
Dus de lengte van alle rationalen op de reele rechte is 0.

Aangezien de meeste gebruikers alleen (of vooral) bekend zijn met de Riemann-integraal (en dat dus ook veronderstellen wanneer je gewoon "integraal" zegt), wil ik toch even opmerken dat bovenstaande geldt voor bijvoorbeeld de Lebesque-integraal (de Lebesque-maat werd reeds genoemd) en niet voor de Riemann-integraal: de aangehaalde functie is niet Riemann-integreerbaar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Vladimir Lenin

    Vladimir Lenin


  • >250 berichten
  • 829 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 maart 2009 - 00:17

Rationale getallen zijn punten op de rechte, en bijgevolg hebben ze geen lengte, daar er geen enkel interval is in of daarboven is die volledig gedekt wordt door Q, kan men dus besluiten dat Q geen lengte heeft.
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."
--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures