[wiskunde] driehoek van pascal

Florent

Hallo,

Voor school hebben wij laatst de opdracht gekregen om een verslag te schrijven over de driehoek van Pascal. Die is op zich niet heel speciaal, maar we hebben meerdere onderdelen gekregen om uit te zoeken.

Wat ik me vooral afvraag is wat nou de binomiale coëfficiëntie is. Ik heb alleen een vaag idee, en daarmee kom ik niet verder. Ik heb al ontzettend veel gezocht op het internet, vooral op Wikipedia, maar de antwoorden daar liggen een beetje boven mijn niveau.

Op het opdrachtenvel stond een formule waarvan de opmaak moeilijk te kopiëren is, maar here goes nothing, zeg maar.

(n) (n) ( n ) (n)

( ) + ( ) +... + ( ) + ( ) = 2^n

(0) (1) ( n - 1) (n)

De haakjes moeten natuurlijk van die lange haakjes zijn, zodat je het uitspreekt als "N boven 0 plus N boven 1".

kennelijk kan deze formule afgeleid worden met behulp van de driehoek van pascal, maar heeft iemand enig idee hoe?

Duizend maal dank voor degene die mij hiermee kan helpen.

Bvdz

Ik weet zo niet wat je formule is.

Klintersaas

Wat ik me vooral afvraag is wat nou de binomiale coëfficiëntie is. Ik heb alleen een vaag idee, en daarmee kom ik niet verder. Ik heb al ontzettend veel gezocht op het internet, vooral op Wikipedia, maar de antwoorden daar liggen een beetje boven mijn niveau.

Heb je al combinatieleer gezien?

De binomiaalcoëfficiënt

\(\binom{n}{m}\)

.

\(\begin{array}{rcl}(x+a)^n & = & \sum \limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i}x^{n-i}a^i \\&& \\& = & \binom{n}{0}x^na^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}a^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}a^2 + \cdots + \binom{n}{n-2}x^2a^{n-2} + \binom{n}{n-1}x^1a^{n-1} + \binom{n}{n}x^0a^n \\&& \\& = & x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}a^1 + \binom{n}{2}x^{n-2}a^2 + \cdots + \binom{n}{n-2}x^2a^{n-2} + \binom{n}{n-1}x^1a^{n-1} + a^n\end{array}\)

Nu we dit weten kunnen we dit toepassen om een formule te vinden voor

\(2^n\)

:

\(2^n = (1 + 1)^n = \sum \limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i}1^{n-i}1^i = \sum \limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n}\)

Tadaa!

TD

Ken je het verband tussen de (getallen in de rijen van de) driehoek van Pascal en (de coëfficiënten in de uitwerkin van) (a+b)ⁿ? Stel a=b=1 voor de gevraagde formule, wat krijg je? Probeer eens.

(...)Tadaa!

Blijkbaar was ik net te laat. Je hele uitleg is wellicht nuttig (Florent mag je dankbaar zijn!), maar op het einde was het misschien beter geweest om te volstaan met een hint in de richting van de oplossing...?

Klintersaas

Wel, ik interpreteerde het bericht als was de formule die er stond een hulpmiddel voor een opgave en Florent gewoon niet begreep hoe men aan die formule komt. In dat licht leek het me niet kwalijk om die even voor hem af te leiden. Als je denkt dat het beter is, mag je altijd het laatste gedeelte van mijn post (vanaf "Nu we dit weten...") in een verborgen inhoud zetten en verwijzen naar jouw hint.

TD

Florent heeft het al gelezen (zag ik toevallig), dus dat hoeft niet meer. Met je uitgebreide uitleg had Florent het volgens mij ook zelf kunnen vinden, dan verkies ik gewoonlijk die aanpak (in het licht van "wij zijn geen huiswerkmachine"). Uiteraard geen "probleem", gewoon een idee voor de volgende keer.

Florent

Florent heeft het al gelezen (zag ik toevallig), dus dat hoeft niet meer. Met je uitgebreide uitleg had Florent het volgens mij ook zelf kunnen vinden, dan verkies ik die aanpak gewoon (in het licht van "wij zijn geen huiswerkmachine"). Uiteraard geen "probleem", gewoon een idee voor de volgende keer.

Haha, dat klopt ja. Ik heb het gelezen, en moest het even tot me door laten dringen. Maar ik denk dat ik dit begrijp. Heel erg bedankt Klintersaas.

TD

Als je het begrijpt, is het prima

Klintersaas

Graag gedaan. Ergens heeft TD natuurlijk wel gelijk met zijn opmerking dat ik tegen de geest van het forum heb gehandeld door dat laatste gedeelte ook uit te werken, maar goed.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] driehoek van pascal

[wiskunde] driehoek van pascal

Re: [wiskunde] driehoek van pascal

Re: [wiskunde] driehoek van pascal

Re: [wiskunde] driehoek van pascal

Re: [wiskunde] driehoek van pascal

Re: [wiskunde] driehoek van pascal

Re: [wiskunde] driehoek van pascal

Re: [wiskunde] driehoek van pascal

Re: [wiskunde] driehoek van pascal