[wiskunde] extremumprobleem

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 689

[wiskunde] extremumprobleem

Ik heb de functie
\(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\)
. Te vinden, het minimum (of de minima, want de functie is even).

Ik leid een keer af, bekom zo
\(\frac{d}{dx}f(x) = \frac{\cos(x)}{x} - \frac{\sin(x)}{x^2}\)
, waarna gelijkstellen aan nul voor het vinden van de extrema mij
\(\frac{\cos(x)}{x} - \frac{\sin(x)}{x^2} = 0\)
of
\(x \cdot \mbox{cot}(x) = 1\)
geeft.

Nu ligt het misschien aan mij, maar algebraisch lijk ik daar geen oplossing uit te kunnen halen. Kan iemand me helpen?

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Berichten: 4.246

Re: [wiskunde] extremumprobleem

Nu ligt het misschien aan mij, maar algebraisch lijk ik daar geen oplossing uit te kunnen halen.
Lijkt me ook.
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] extremumprobleem

De oplossing x = 0 heb je nog exact, maar stemt overeen met een maximum.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: [wiskunde] extremumprobleem

De oplossing x = 0 heb je nog exact, maar stemt overeen met een maximum.
Die had ik inderdaad al. Maar de minima lijk ik er niet uit te kunnen halen. De opgave staat zo in mijn boek, hoewel je dan het bereik moet bepalen. Als oplossing staat er het R = (a,1( en er staat bij 'zoek a'. Dit leek me echter niet mogelijk... Ik vond het al vreemd dat zelfs de oplossing nog een vraag bevat. :D

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] extremumprobleem

En numeriek is niet de bedoeling...? Die a gaat natuurlijk het eerste minimum zijn (links of rechts van de oorsprong).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: [wiskunde] extremumprobleem

En numeriek is niet de bedoeling...? Die a gaat natuurlijk het eerste minimum zijn (links of rechts van de oorsprong).
Uiteraard, en die zocht ik dus. Ik denk niet dat numeriek de bedoeling is, want als dat het geval is staat er expliciet bij dat we Maple mogen gebruiken om tot de oplossing te komen.

Hetzelfde geld toch ook voor f(x)= x sin(1/x) ?

Die volgt twee oefeningen later op de oefening van mijn beginpost. Dan bekom ik als extremaalprobleemoplossing tan(1/x) x = 1 ...

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] extremumprobleem

Daar zit je volgens mij (inderdaad) met hetzelfde probleem...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 74

Re: [wiskunde] extremumprobleem

De oplossing x = 0 heb je nog exact, maar stemt overeen met een maximum.
In
\(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\)
bestaat x = 0 niet (delen door 0)...

Je hebt wel
\( \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x)}{x}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] extremumprobleem

Klopt, in x=0 is de functie niet gedefinieerd. Het is hier wel gebruikelijk om de functie continu uit te breiden (gewoon gelijkstellen aan 1 in dat punt), dan heb je er netjes een maximum.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 74

Re: [wiskunde] extremumprobleem

Ok, dat mogen wji juist absoluut niet doen :D

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] extremumprobleem

Een functie continu uitbreiden?! Daar is niets "vies" aan hoor, maar met de opgave zoals het hier staat bestaat f natuurlijk niet in x=0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: [wiskunde] extremumprobleem

Gewoon even checken, maar ik heb toch ook hetzelfde met f(x) = log(1-x) sin( :D /x) ? Dan heb ik domein ( - :D ; 1 ) en bereik [a;b] (hoewel ik denk a = b). Hier valt a toch weer niet uit te halen, want afleiden en gelijkstellen aan nul geeft
\(- \frac{\sin( \frac{\pi}{x})}{1-x} - \frac{\cos( \frac{\pi}{x}) \cdot \log(1-x) \cdot \pi}{x^2} = 0\)
? Nakijken zou ook handig zijn...

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 689

Re: [wiskunde] extremumprobleem

Hetzelfde heb ik met de laatste oefening, f(x) = 1/x sin( :D x^2 ), dan bekom ik een afgeleide is nul gelijkheid gelijk aan 2 :P x^2 = tan ( :D x^2) ...

Denis
"Her face shown like the sun that I strived to reach."

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] extremumprobleem

Je afgeleiden zien er goed uit, het probleem lijkt hier hetzelfde... Misschien eens aan je docent vragen wat de bedoeling is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer