\(Y(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} y_n e^{-i \omega n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} (x_n + x_{n-1}) e^{-i \omega n} = \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n e^{-i \omega n} + \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{n-1} e^{-i \omega n}\)
\(= \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n e^{-i \omega n} + \frac{1}{2} \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_m e^{-i \omega (m + 1)} = \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n e^{-i \omega n} + \frac{1}{2} \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_m e^{-i \omega m} e^{-i \omega}\)
\(= \frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n e^{-i \omega n} + \frac{1}{2} e^{-i \omega} \sum_{m=-\infty}^{\infty} x_m e^{-i \omega m} = \frac{1}{2} (1 + e^{-i \omega}) \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n e^{-i \omega n} \)
\( = \frac{1}{2} (1 + e^{-i \omega}) X(\omega) \)
De discrete convolutie:
\((h * x)(n) = \sum_{m = -\infty}^\infty x(m)\cdot h(n-m)\)
Kijk nu wat er gebeurt als geldt:
\(h(0) = 1\)
\(h(1) = 1\)
en voor alle andere waardes is h nul.
\((h * x)(n) = \sum_{m = -\infty}^\infty x(m)\cdot h(n-m) = \sum_{m = -\infty}^{n-2} x(m)\cdot h(n-m) + x(n-1)\cdot h(n-(n-1)) + x(n)\cdot h(n-n) + \sum_{m = n+1}^\infty x(m)\cdot h(n-m)\)
In de twee sommaties zijn alle termen nul, dus blijft over:
\(= x(n-1)\cdot h(n-(n-1)) + x(n)\cdot h(n-n) = x(n-1)\cdot h(1) + x(n)\cdot h(0) = x(n-1) + x(n) = 2 y(n)\)
Bij dit soort zaken is het niet zo lastig om de overdrachtfunctie h te vinden. Ik vind het echter lastig om uit te leggen (in mijn hoofd zie ik een gespiegelde functie over de andere functie heen gaan). Als je bijvoorbeeld zou hebben:
\(y(n) = \frac{x(n-3)}{2} + x(n) + x(n+4)\)
dan zou gelden:
\(h(3) = \frac{1}{2}\)
\(h(0) = 1\)
\(h(-4) = 1\)
):
