Springen naar inhoud

[wiskunde] bewijzen formule van euler


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jeffreih

    Jeffreih


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 februari 2009 - 17:07

Hallo, voor m'n wiskunde PO houd ik het over de formule van Euler:
LaTeX

Ik heb 3 bewijzen voor mijn deel gekozen, maar bij de derde loop ik gedeeltelijk vast:
http://en.wikipedia....ntial_equations

Being a 2nd-order differential equation, there are two linearly independent solutions that satisfy it:
Geplaatste afbeelding
Geplaatste afbeelding
Both cos and sin are real functions in which the 2nd derivative is identical to the negative of that function. Any linear combination of solutions to a homogeneous differential equation is also a solution. Then, in general, the solution to the differential equation is
Geplaatste afbeelding
Geplaatste afbeelding

Dat er geldt dat de tweede afgeleide van cos(x) = -cos(x) en sin(x) = -sin(x) snap ik wel, maar hoe komen ze op oplossingen in de vorm van: LaTeX ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 februari 2009 - 17:10

g1 is een oplossing, g2 is een oplossing en een lineaire combinatie van oplossingen is ook een oplossing.
Quitters never win and winners never quit.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 februari 2009 - 17:12

Dat is een eigenschap van differentiaalvergelijkingen van deze vorm:

Any linear combination of solutions to a homogeneous differential equation is also a solution.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Jeffreih

    Jeffreih


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 februari 2009 - 18:20

Bedankt voor de reacties, maar wat houdt het precies? (in simpelere termen)

We hebben enkel gewerkt met deze differentiaalvergelijkingen en -oplossingen:
Geplaatste afbeelding

Ik zal zelf ook even zoeken naar een niet al te moeilijke uitleg 8-)

#5

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 februari 2009 - 18:28

Daar staat dat de cosinus een oplossing is evenals de sinus nu blijkt (en dat kun je bewijzen) en dat als je deze optelt dat dat dan ook een oplossing is, snap je?
Quitters never win and winners never quit.

#6

Jeffreih

    Jeffreih


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 februari 2009 - 18:48

Ja dat snap ik, maar nu zit ik met de volgende problemen:

1) Hoe kom ik op de oplossingen als ik niet gelijk aan de sinus/cosinus zou denken; hoe zou je ze dus via berekening kunnen vinden?
2) Waar kan ik 'makkelijkere' uitleg vinden over hoe ze bij deze oplossing komen: Geplaatste afbeeldingGeplaatste afbeelding

Heb zelf al gezocht, maar dan kom ik voornamelijk op sites waar ze het uitleggen met voor mij te moeilijke wiskundige termen.. 8-)

Veranderd door Jeffreih, 26 februari 2009 - 18:50


#7

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 februari 2009 - 18:55

Ja dat snap ik, maar nu zit ik met de volgende problemen:

1) Hoe kom ik op de oplossingen als ik niet gelijk aan de sinus/cosinus zou denken; hoe zou je ze dus via berekening kunnen vinden?

Bij differentiaalvergelijkingen is er geen pad die je direct naar een antwoord brengt meestal is het een kwestie van zoeken.

2) Waar kan ik 'makkelijkere' uitleg vinden over hoe ze bij deze oplossing komen: Geplaatste afbeeldingGeplaatste afbeelding

Heb zelf al gezocht, maar dan kom ik voornamelijk op sites waar ze het uitleggen met voor mij te moeilijke wiskundige termen.. :D

Dat probeerde TD en ik dus uit te leggen en hierboven zei je al dat je dit snapte 8-)

Veranderd door dirkwb, 26 februari 2009 - 18:56

Quitters never win and winners never quit.

#8

Jeffreih

    Jeffreih


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 februari 2009 - 19:13

Woeps, ik bedoelde dat ik snap dat cosinus en sinus oplossingen zijn. Ook begrijp ik nu beter hoe je die A en B uit kunt rekenen.

"..in general, the solution to the differential equation.."; Daar zou ik dan juist meer informatie over willen, waarom die regel geldt.

#9

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 februari 2009 - 19:21

2.PNG
Quitters never win and winners never quit.

#10

Jeffreih

    Jeffreih


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 februari 2009 - 19:40

Aah, als ik het goed snap is dat dus hetzelfde als die formulering van Wikipedia:
LaTeX
LaTeX

Waarin y1 = cos(x) en y2 = sin(x)

Nu heb je dus:
g(x) = c1*cos(x) + c2*sin(x)
Nemen we x=0 dan:
g(0) = c1*cos(0) + c2*sin(0) = c1*1 + c2*0
g(0) = c1
De originele functie was g(x) = e^(ix)
g(0) geeft e^(i*0) = 1
Dus c1 = 1

Nu de afgeleide van g(x):
g'(x) = i*e^(ix)
Tevens geldt:
g'(x) = -c1*sin(x) + c2*cos(x)
Vullen we weer f(0) in:
1: g'(0) = i*e^(i*0) = i
2: g'(0) = -c1*sin(0) + c2*cos(x) = 0 + c2*1 = c2

Dus: c2 = i

Weer invullen in de oplossing:
g(x) = 1*cos(x) + i*sin(x)
g(x) = e^(ix)
-> e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

Zo klopt het toch? 8-)

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 februari 2009 - 21:48

Zo bepaal je inderdaad die A en B en daaruit volgt de gewenste formule.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures