Springen naar inhoud

Aftelbaarheid en gelijkmachtig zijn


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 februari 2009 - 18:08

Ik heb wat moeite met het begrip NN, d.w.z. de verzameling van alle functies f werkend van N op N, met N de natuurlijke getallen.

Ik weet hoe ik bewijs dat P(N) gelijkmachtig is met {0,1}N (met P(N) de machtsverzameling van N).
Ik weet ook dat voor gelijkmachtigheid geldt dat er tussen de verzamelingen een bijectieve afbeelding moet zijn.

Nu wil ik kijken of P(N) eventueel gelijkmachtig is met NN.

Ik dacht eerst dat i.i.g. geldt dat P(N)[kleinergelijk]NN.
Via de karakteristieke functie.

Maar is de karakteristieke functie wel een functie van de vorm f: N-> N ? Of is f: N-> {0,1} ?

Anyway om het kort te houden ik loop een beetje vast bij het zoeken of het niet-bestaan aan tonen van een bijectieve afbeelding tussen 2 verzamelingen.
Ook bijv. geldt (0,1) is gelijkmachtig met [0,1] ??

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 februari 2009 - 19:00

[quote name='Heidegger' post='496513' date='28 February 2009, 18:08']Nu wil ik kijken of P(N) eventueel gelijkmachtig is met NN.[/quote]
Je weet dat |P(N)| = 2|N|, dus |P(N)| = |NN| als 2|N| = |NN|.
Alleszins is duidelijk dat 2|N| :D |NN| want je hebt Bericht bekijken
Ook bijv. geldt (0,1) is gelijkmachtig met [0,1] ??[/quote]
Je bedoelt hier de reŽle intervallen? In dat geval: ja.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 maart 2009 - 15:28

Je weet dat |P(N)| = 2|N|, dus |P(N)| = |NN| als 2|N| = |NN|.
Alleszins is duidelijk dat 2|N| :D |NN| want je hebt LaTeX

.
Maar anderzijds is ook nog LaTeX en |NxN| = |N|.


Je bedoelt hier de reŽle intervallen? In dat geval: ja.


Bedankt TD.
Alleen waarom precies is LaTeX ?
(edit: volgens mij zie ik het)



En kun je een kleine hint geven voor die intervalgelijkheid?
Er is dus een bijectie tussen (0,1) en bijvoorbeeld R.
Ik dacht dat het kon via de decimale ontwikkeling, maar die zag er niet echt sjiek uit dacht ik.

Veranderd door Heidegger, 01 maart 2009 - 15:33


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 maart 2009 - 17:55

Bedankt TD.
Alleen waarom precies is Bericht bekijken

En kun je een kleine hint geven voor die intervalgelijkheid?
Er is dus een bijectie tussen (0,1) en bijvoorbeeld R.
Ik dacht dat het kon via de decimale ontwikkeling, maar die zag er niet echt sjiek uit dacht ik.

Voor zo'n bijectie tussen twee overaftelbare intervallen waarbij je een eindig aantal getallen moet 'toevoegen' (of 'weglaten') is het interessant het interval te verdelen in een aftelbare deelverzameling en 'de rest' (overaftelbaar). In dit laatste stuk stuur je alles op zichzelf, in de aftelbare verzameling kan je gemakkelijk een 'verschuiving' doen (type 1 sturen op 2, 2 op 3 enzovoort).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Heidegger

    Heidegger


  • >25 berichten
  • 77 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 maart 2009 - 19:42

Gelukt.

LaTeX ~LaTeX ~LaTeX


Nu nog over die reele intervallen.
Wil bewijzen dat de reele rechte R ~ (0,1)

(Dat het dan ook voor R ~ (a, b) geldt, met a ongelijk b, zie ik.)


(0,1) (={x met 1>x>0})
(0,1) LaTeX R [triv.]
R LaTeX (0, 1)

Gevoelsmatig zit dat wel goed als je maar goed genoeg inzoomt op (0,1) zie je daar ook echt de reele rechte.
En dat (0,1) overaftelbaar is, is ook aan te tonen. Maar hoe laat m.b.v een bijectieve afbeelding zien dat R LaTeX (0, 1)

Voor zo'n bijectie tussen twee overaftelbare intervallen waarbij je een eindig aantal getallen moet 'toevoegen' (of 'weglaten') is het interessant het interval te verdelen in een aftelbare deelverzameling en 'de rest' (overaftelbaar). In dit laatste stuk stuur je alles op zichzelf, in de aftelbare verzameling kan je gemakkelijk een 'verschuiving' doen (type 1 sturen op 2, 2 op 3 enzovoort).


Ik zie nog niet hoe ik die afbeelding kan vinden.
((Ik kan bijvoorbeeld de Rationale getallen uit (0, 1) halen.??))

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 maart 2009 - 19:59

Maar hoe laat m.b.v een bijectieve afbeelding zien dat R Bericht bekijken

Ik zie nog niet hoe ik die afbeelding kan vinden.
((Ik kan bijvoorbeeld de Rationale getallen uit (0, 1) halen.??))

Het kan inderdaad met rationale getallen, maar ik neem even iets dat wat eenvoudiger werkt.

In het interval (0,1) zitten onder andere alle getallen 1/n met voor elke n>1, ik noem deze deelverzameling A. Bekijk ook in het interval [0,1] diezelfde verzameling en stuur alle getallen uit (0,1) die niet in A zitten op zichzelf (in [0,1] dan). Met behulp van A, kan je nu handig die twee extra punten toevoegen: stuur 1/2 bijvoorbeeld op 0 en 1/3 op 1, en daarna stuur je 1/(n+2) uit (0,1) op 1/n uit [0,1], voor elke n>1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures