Gelijkheid met binomiaalgetallen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 581

Gelijkheid met binomiaalgetallen

Hallo,

Ben op zoek naar bewijs van volgende formule:
\( \frac{\left( \begin{array}{c} 4n \\ 2n \end{array} \right) }{\left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)} = \frac{ \left( 1\cdot 3 \cdot 5 \cdots (4n-1) \right)}{ \left( 1\cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2n-1) \right)^2} \)
Kan iemand me op weg zetten?
---WAF!---

Berichten: 43

Re: Gelijkheid met binomiaalgetallen

Het kan in ieder geval op een (denk ik) vrij allesbehalve elegante manier:

Schrijf binomiale ding als (4n)!*n!^2 / (2n)!^3.

Vanuit je eindantwoord werkend, vind je na wat prutsen:

A: 1*3*5*7*...*(2n+1) = (2n+1)!/(2^n*n!)

en zo ook

B: 1*3*5*7*...*(2n-1) = (2n-1)!/(2^(n-1)*(n-1)!)

C: 1*3*5*7*...*(4n-1) = (4n-1)!/(2^(2n-1)*(2n-1)!)

Je 'RHS' is hetzelfde als C/B^2 dus laten we dat maar eens invullen (excuses voor leesbaarheid):

2^(2n-2)*(n-1)!^2*(4n-1)!/(2^(2n-1)*(2n-1)!*(2n-1)!^2)

= 1/2 (n-1)!^2*(4n-1)! / (2n-1)!^3

= 1/2( n!^2*(4n)! / (2n)!^3 ) * (1/n^2) * 1/(4n) * (2n)^3

= 1/2*1/4*8 * n!^2*(4n)! / (2n)!^3

= n!^2*(4n)! / (2n)!^3

Een mooi 'argument' vanuit combinatoriek o.i.d. zie ik niet zo snel (omdat de LHS ook niet-integer waarden kan aannemen), daarnaast heb ik me daar ook nooit in verdiept.

Hoop dat het zo iets duidelijker is..

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Gelijkheid met binomiaalgetallen

Leid eerst de uitdrukking in n voor
\(2n\choose n\)
af en gebruik dit om de uitdrukking in n voor
\(4n\choose 2n\)
af te leiden.

Opmerking: de Latex code voor
\(n\choose k\)
is overigens n\choose k.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 8.614

Re: Gelijkheid met binomiaalgetallen

Opmerking: de Latex code voor
\(n\choose k\)
is overigens n\choose k.
Of \binom{n}{k}.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 581

Re: Gelijkheid met binomiaalgetallen

Hallo,

Bedankt voor de uitleg, het is me gelukt, met de aanzet van mathreak en de tips van Lunae.

In feite gewoon kwestie van uitschrijven en schrappen, maar eens je het gezien hebt lijkt 't natuurlijk altijd zo simpel...

Oja, die latextips zijn ook zeer nuttig, ik vond dit niet zomaar terug in het latex-overzichtje.
---WAF!---

Reageer