Pagina 1 van 1

Gelijkheid met binomiaalgetallen

Geplaatst: za 28 feb 2009, 20:30
door Westy
Hallo,

Ben op zoek naar bewijs van volgende formule:
\( \frac{\left( \begin{array}{c} 4n \\ 2n \end{array} \right) }{\left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)} = \frac{ \left( 1\cdot 3 \cdot 5 \cdots (4n-1) \right)}{ \left( 1\cdot 3 \cdot 5 \cdots ( 2n-1) \right)^2} \)
Kan iemand me op weg zetten?

Re: Gelijkheid met binomiaalgetallen

Geplaatst: za 28 feb 2009, 23:24
door Lunae
Het kan in ieder geval op een (denk ik) vrij allesbehalve elegante manier:

Schrijf binomiale ding als (4n)!*n!^2 / (2n)!^3.

Vanuit je eindantwoord werkend, vind je na wat prutsen:

A: 1*3*5*7*...*(2n+1) = (2n+1)!/(2^n*n!)

en zo ook

B: 1*3*5*7*...*(2n-1) = (2n-1)!/(2^(n-1)*(n-1)!)

C: 1*3*5*7*...*(4n-1) = (4n-1)!/(2^(2n-1)*(2n-1)!)

Je 'RHS' is hetzelfde als C/B^2 dus laten we dat maar eens invullen (excuses voor leesbaarheid):

2^(2n-2)*(n-1)!^2*(4n-1)!/(2^(2n-1)*(2n-1)!*(2n-1)!^2)

= 1/2 (n-1)!^2*(4n-1)! / (2n-1)!^3

= 1/2( n!^2*(4n)! / (2n)!^3 ) * (1/n^2) * 1/(4n) * (2n)^3

= 1/2*1/4*8 * n!^2*(4n)! / (2n)!^3

= n!^2*(4n)! / (2n)!^3

Een mooi 'argument' vanuit combinatoriek o.i.d. zie ik niet zo snel (omdat de LHS ook niet-integer waarden kan aannemen), daarnaast heb ik me daar ook nooit in verdiept.

Hoop dat het zo iets duidelijker is..

Re: Gelijkheid met binomiaalgetallen

Geplaatst: zo 01 mar 2009, 11:55
door mathfreak
Leid eerst de uitdrukking in n voor
\(2n\choose n\)
af en gebruik dit om de uitdrukking in n voor
\(4n\choose 2n\)
af te leiden.

Opmerking: de Latex code voor
\(n\choose k\)
is overigens n\choose k.

Re: Gelijkheid met binomiaalgetallen

Geplaatst: zo 01 mar 2009, 11:59
door Klintersaas
Opmerking: de Latex code voor
\(n\choose k\)
is overigens n\choose k.
Of \binom{n}{k}.

Re: Gelijkheid met binomiaalgetallen

Geplaatst: zo 01 mar 2009, 16:08
door Westy
Hallo,

Bedankt voor de uitleg, het is me gelukt, met de aanzet van mathreak en de tips van Lunae.

In feite gewoon kwestie van uitschrijven en schrappen, maar eens je het gezien hebt lijkt 't natuurlijk altijd zo simpel...

Oja, die latextips zijn ook zeer nuttig, ik vond dit niet zomaar terug in het latex-overzichtje.