Springen naar inhoud

Rayleigh coefficient


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 maart 2009 - 19:24

Zij A een symmetrische nxn-matrix. De complete set eigenvectoren heeft notatie LaTeX met ordening LaTeX .


We definiŽren de Rayleigh quotient:

LaTeX


Laat zien dat onderstaande minimalisatie een tweede eigenwaarde en zijn eigenvector oplevert:

LaTeX

met LaTeX de orthonormale eigenvector behorende bij LaTeX


Hoe pak ik dit aan?

Veranderd door dirkwb, 05 maart 2009 - 19:37

Quitters never win and winners never quit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 05 maart 2009 - 20:58

Hint:
Merk op dat R(cx) = R(x) voor elke scalar c.
Dus hoef je slecht te kijken naar R(x) = x'Ax met ||x||=1.
Lagrange multipliers.

#3

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 maart 2009 - 21:00

Ok, en hoe houd ik rekening met dat inproduct is nul? Is dat een extra constraint in de lagrange multipliers?

Veranderd door dirkwb, 05 maart 2009 - 21:01

Quitters never win and winners never quit.

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 05 maart 2009 - 21:29

yes :D

#5

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 maart 2009 - 21:39

Dat is erg ver gezocht,... maar desalniettemin zal ik een poging doen:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX


Hoe differentieer ik R(x) naar x eigenlijk?

Veranderd door dirkwb, 05 maart 2009 - 21:40

Quitters never win and winners never quit.

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 05 maart 2009 - 22:02

R(x) = x'Ax.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 maart 2009 - 10:32

Uit LaTeX volgt in matrixvorm:
LaTeX en LaTeX en LaTeX
Met LaTeX vermenigvuldigen geeft:
LaTeX met LaTeX en LaTeX
ofwel we hebben een nieuwe eigenwaarde-eigenvector combinatie.

Veranderd door PeterPan, 06 maart 2009 - 10:40


#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 maart 2009 - 11:01

ofwel LaTeX is een nieuwe eigenwaarde-eigenvector combinatie.

#9

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 maart 2009 - 11:13

Uit LaTeX

volgt in matrixvorm:
LaTeX en LaTeX en LaTeX
Met LaTeX vermenigvuldigen geeft:
LaTeX met LaTeX en LaTeX

Duidelijk.

ofwel we hebben een nieuwe eigenwaarde-eigenvector combinatie.
ofwel LaTeX

is een nieuwe eigenwaarde-eigenvector combinatie.

Dit snap ik niet (bovendien is de vraag ook niet hiermee beantwoord).
Quitters never win and winners never quit.

#10

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 maart 2009 - 11:44

De vraag was:
Laat zien dat onderstaande minimalisatie een tweede eigenwaarde en zijn eigenvector oplevert

Dat is dus aangetoond.
De minimalisatie levert
LaTeX

Dus de minimalisatie levert de eigenwaarde LaTeX . De bijbehorende eigenvector is LaTeX .

Hmmm. Eigenvectoren van symmetrische matrices zijn orthogonaal, dus LaTeX en LaTeX is de nieuw eigenvector.

Veranderd door PeterPan, 06 maart 2009 - 11:58


#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 maart 2009 - 12:20

Het kan natuurlijk ook saaier met alleen wat algebra.
Als LaTeX een willekeurige vector is met lengte 1, en zeg LaTeX ,
dan is LaTeX
en het Rayleigh quotient is
LaTeX
enz.

#12

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 maart 2009 - 12:40

enz. = We zoeken in de ruimte loodrecht op LaTeX , dus LaTeX .
Dan is de uitdrukking minimaal als LaTeX en LaTeX anders.
Dus het minimum wordt bereikt voor LaTeX
Ok?

#13

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 maart 2009 - 12:21

enz. = We zoeken in de ruimte loodrecht op LaTeX

, dus LaTeX .
Dan is de uitdrukking minimaal als LaTeX en LaTeX anders.

Hoe bewijs je dat dat het minimum is van LaTeX , ik heb het met partieel afgeleides geprobeerd maar dat lukte niet.
Quitters never win and winners never quit.

#14

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 07 maart 2009 - 13:42

Je hoeft alleen die LaTeX -en te onderzoeken die norm 1 hebben, dus waarvoor LaTeX .
Je ziet aan de uitdrukking
LaTeX
dat het minimum bereikt wordt als LaTeX en LaTeX voor de overige k. (LaTeX kun je met enige fantasie zien als een kansvector).

#15

vgroesen

    vgroesen


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 maart 2009 - 20:02

Beste Dirk,

Als je een beetje opgelet had tijdens mijn lessen, had je dit ook zelf kunnen oplossen. Het stelt me ook erg teleur dat ik elders op deze site een scan van mijn prachtige boek vond.

Ik wil een ieder vragen deze ongeinspireerde student geen hulp meer te bieden bij deze invulopgaves. Voor hulp kan contact gezocht worden via de e-mail.

Gegroet,





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures