\(\sin(x) + \cos(x) + \tan(x) + \cot(x) + \sec(x) + \csc(x) + 2 = 0\)
op de volgende manier op:\(\begin{array}{clcc}& \sin(x) + \cos(x) + \tan(x) + \cot(x) + \sec(x) + \csc(x) + 2 & = & 0 \\&&& \\\Leftrightarrow & \sin(x) + \cos(x) + \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} + \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} + \dfrac{1}{\cos(x)} + \dfrac{1}{\sin(x)} + 2 & = & 0\end{array}\)
\(\begin{array}{clcc}\mbox{Bestaansvoorwaarde:} &&& \\&&& \\\cos(x) \neq 0 & \mbox{of} & \sin(x) \neq 0 & \\&&& \\\Leftrightarrow x \neq \pi + k\pi & \mbox{of} & x \neq k\pi \\\end{array}\)
\(\begin{array}{clcc}\Leftrightarrow & \sin^2(x)\cos(x) + \sin(x)\cos^2(x) + \sin^2(x) + \cos^2(x) + \cos(x) + \sin(x) + 2\sin(x)\cos(x) & = & 0 \\&&& \\\Leftrightarrow & \sin(x)\cos(x)(\sin(x) + \cos(x)) + (\sin(x) + \cos(x))^2 + \sin(x) + \cos(x) & = & 0 \\&&& \\\Leftrightarrow & (\sin(x) + \cos(x))(\sin(x)\cos(x) + \sin(x) + \cos(x) + 1) & = & 0 \\&&& \\\Leftrightarrow & (\sin(x) + \cos(x))(\sin(x)(\cos(x) + 1) + \cos(x) + 1) & = & 0 \\&&& \\\Leftrightarrow & (\sin(x) + \cos(x))(\sin(x) + 1)(\cos(x) + 1) & = & 0 \\\end{array}\)
\(\begin{array}{lclcc}\mbox{a)}\quad \sin(x) + \cos(x) = 0 && \mbox{b)}\quad \sin(x) + 1 = 0 && \mbox{c)}\quad \cos(x) + 1 = 0 \\&&&&& \\\Leftrightarrow \cos(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) && \Leftrightarrow \sin(x) = -1 && \Leftrightarrow \cos(x) = -1 \\&&&&& \\\Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} - x + 2k\pi && \Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{2} + && \Leftrightarrow x = \pi + 2k\pi \\&&&&& \\\Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi && \Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi && \Leftrightarrow x = \pi + 2k\pi\end{array}\)
\(V = \left\{\frac{3\pi}{4} + k\pi\right\}\)
Ik vroeg me af of het op een kortere, elegantere manier gaat. Overigens mijn excuses voor het soms onduidelijke gebruik van haakjes. Verder weet ik ook dat ik in de uitwerking van a) onvolledig ben geweest, maar de andere optie leverde toch geen oplossingen en het was nogal vervelend om dat er mooi tussen te krijgen.
