[wiskunde] goniometrische vergelijking
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 8.614
[wiskunde] goniometrische vergelijking
Ik loste de goniometrische vergelijking
\(\sin(x) + \cos(x) + \tan(x) + \cot(x) + \sec(x) + \csc(x) + 2 = 0\)
op de volgende manier op:\(\begin{array}{clcc}& \sin(x) + \cos(x) + \tan(x) + \cot(x) + \sec(x) + \csc(x) + 2 & = & 0 \\&&& \\\Leftrightarrow & \sin(x) + \cos(x) + \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} + \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} + \dfrac{1}{\cos(x)} + \dfrac{1}{\sin(x)} + 2 & = & 0\end{array}\)
\(\begin{array}{clcc}\mbox{Bestaansvoorwaarde:} &&& \\&&& \\\cos(x) \neq 0 & \mbox{of} & \sin(x) \neq 0 & \\&&& \\\Leftrightarrow x \neq \pi + k\pi & \mbox{of} & x \neq k\pi \\\end{array}\)
\(\begin{array}{clcc}\Leftrightarrow & \sin^2(x)\cos(x) + \sin(x)\cos^2(x) + \sin^2(x) + \cos^2(x) + \cos(x) + \sin(x) + 2\sin(x)\cos(x) & = & 0 \\&&& \\\Leftrightarrow & \sin(x)\cos(x)(\sin(x) + \cos(x)) + (\sin(x) + \cos(x))^2 + \sin(x) + \cos(x) & = & 0 \\&&& \\\Leftrightarrow & (\sin(x) + \cos(x))(\sin(x)\cos(x) + \sin(x) + \cos(x) + 1) & = & 0 \\&&& \\\Leftrightarrow & (\sin(x) + \cos(x))(\sin(x)(\cos(x) + 1) + \cos(x) + 1) & = & 0 \\&&& \\\Leftrightarrow & (\sin(x) + \cos(x))(\sin(x) + 1)(\cos(x) + 1) & = & 0 \\\end{array}\)
\(\begin{array}{lclcc}\mbox{a)}\quad \sin(x) + \cos(x) = 0 && \mbox{b)}\quad \sin(x) + 1 = 0 && \mbox{c)}\quad \cos(x) + 1 = 0 \\&&&&& \\\Leftrightarrow \cos(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) && \Leftrightarrow \sin(x) = -1 && \Leftrightarrow \cos(x) = -1 \\&&&&& \\\Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} - x + 2k\pi && \Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{2} + && \Leftrightarrow x = \pi + 2k\pi \\&&&&& \\\Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{4} + k\pi && \Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi && \Leftrightarrow x = \pi + 2k\pi\end{array}\)
\(V = \left\{\frac{3\pi}{4} + k\pi\right\}\)
Ik vroeg me af of het op een kortere, elegantere manier gaat. Overigens mijn excuses voor het soms onduidelijke gebruik van haakjes. Verder weet ik ook dat ik in de uitwerking van a) onvolledig ben geweest, maar de andere optie leverde toch geen oplossingen en het was nogal vervelend om dat er mooi tussen te krijgen.Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 3.112
Re: [wiskunde] goniometrische vergelijking
De correcte ontbinding in factoren is wat mij betreft elegant genoeg.