Wetenschapsforum

Een dun solide staafje (L=2R) leunt tegen een gefixeerde semi cilinder met straal R=1m. Vanuit rust wordt het staafje losgelaten. Wat is de snelheid van punt B op het moment dat deze het oppervlak van de semi cilinder bereikt.
(g=9,81m/s². Laat alle wrijving buiten beschouwing)

Behoud van energie en samengestelde beweging:

$$\frac{\frac{m(2R)^2}{3} \cdot (\frac{v_A}{2\sqrt{5}})^2}{2}+\frac{mv_A^2}{2}+mR\frac{g}{\sqrt{5}}=mR\frac{\sqrt{2}}{2}g$$

\(v_B\) bereken je dan uit

$$v_B=\frac{2}{\sqrt{5}}v_A$$

De snelheid van het massacentrum van de staaf links in de vergelijking is fout. Ik zal het later corrigeren.

Is het bovenste traagheidsmoment hier niet van toepassing?

Ja, dat was een fout van mij. Maar er zit nog iets fout in mijn berekening.

Je hebt in de situatie waar B de halve cilinder raakt

$$\vec{v_B}=\vec{v_A} + \vec{\omega}_{staaf} \times (\vec{r_B} - \vec{r_A}) $$
$$\vec{v_B}= \vec{\omega}_B \times \vec{r_B}$$

Als je de oorsprong leg in het midden van de vaste cilinder. Dat legt een verband tussen de (hoeksnelheden).
Daar zat ik fout in mijn vorige berekening.

Ik heb dus dan nog

$$\vec{v_M}=\vec{v_A} + \vec{\omega}_{staaf} \times (\frac{\vec{r_B} - \vec{r_A}}{2})$$

$$\frac{\frac{m(2R)^2}{12} \omega_{staaf}^2}{2}+\frac{mv_M^2}{2}+m\frac{R}{\sqrt{5}}g=mR\frac{\sqrt{2}}{2}g$$

Dat klopt!
met v_M=ωR√17 en v_B=4Rω geeft dat ω=0,54238 rad/s en v_B=2,169m/s

Dat is een oplossing via het ogenblikkelijk rotatiecentrum.

Ik denk dat Lagrange ook tot een mooie oplossing gaat leiden voor dit probleem.