Springen naar inhoud

Notaties van functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Akarai

    Akarai


  • >100 berichten
  • 140 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2009 - 21:14

Ik zou graag willen weten of er bepaalde regels zijn voor functievoorschriften. Ik zal proberen uit te leggen waar ik mee zit met wat voorbeelden, want anders gaat het nogal lastig zijn om mijn probleem duidelijk te maken. Als ik de vraag gewoon kon stellen zou het veel gemakkelijker zijn geweest. Mijn probleem is eerder een probleem van notatie, mijn hoofd wil het tegenwoordig niet meer bekijken als één pot nat maar wil duidelijkheid.

Ik neem een functie f, bijvoorbeeld de cosinusfunctie. Deze kan ik dan evalueren in verschillende punten: x, t of desnoods zelfs g(t).

LaTeX
LaTeX
LaTeX

Dit lijken mij allemaal zinvolle functievoorschriften. Het volgende echter niet, omdat de variabele tussen haakjes en de variabele in het voorschrift dus niet overeen komen:

LaTeX

Mijn probleem heeft betrekking op samengestelde functies. f(g(t)) kan je bekijken op 2 verschillende manieren. Je kan het bekijken als een functie f die geëvalueerd wordt in de waarde g(t) (maw: met g(t) als variabele) en je kan het bekijken als een samengestelde functie, waar t de variabele is.

Als ik het bekijk op de eerste manier zou ik zeggen dat:

LaTeX zinvol is, terwijl (neem voor g bijvoorbeeld de vierkantswortel) LaTeX juist niet meer zinvol is, daar de variabele tussen de haakjes en de variabele in het voorschrift niet meer overeen komen (zie hoger). Voor een bepaalde g(t) = a kan je in het eerste voorschrift namelijk wel de functiewaarde bepalen, maar in het 2de niet.

Als ik het echter bekijk op de 2de manier f(g(t)) = (fog)(t) zou ik zeggen dat:

LaTeX en LaTeX wel beiden zinvolle functievoorschriften zijn. Ook wanneer je f(g(t)) vervangt door h(t) blijven volgende voorschriften in mijn ogen geldig:

LaTeX
LaTeX

In het eerste voorschrift is g namelijk gewoon een functie zoals de cos(), sin(), log() vierkantswortel etc, dus is er voor mij totaal geen probleem met dit.

Het echte probleem komt eigenlijk pas bij het differentieren van deze functies. Ik neem een functie f(x) = 2x en een andere functie x = g(t) = t².

De afgeleide van f(x) naar t kan je dan op verschillende manieren berekenen:

LaTeX Dit kan je dan weer op 2 manieren bekijken: als een differentiaalquotient of als een differentiaaloperator LaTeX die op f werkt. Als ik het bekijk op deze 2de manier zou ik het vreemd vinden dat deze operator de variabele verandert van x naar t (Hoewel ik hier niet zo veel van weet, daarom dat ik hulp zoek). Met andere woorden, als ik een functie f(x) differentieer, dan verwacht ik een functie in de variabele x terug. Als je immers de afgeleide van f(x) naar de tijd wilt evalueren in een bepaalde x, dan wil je geen functie van t bekomen. Meestal bereken ik deze dan ook via LaTeX , waar er soms wel meerdere oplossingen voor g^{-1}(x) zijn, zoals in dit voorbeeld het geval is:

LaTeX
LaTeX

Een andere manier is gewoon de afgeleide van f(g(t)) te berekenen via de kettingregel. Ook hier hangt het er dus vanaf of ik g(t) dus als variabele beschouw of het geheel als een samenstelling van de functies f en g. Als ik de afgeleide functie wil evalueren in een bepaalde g(t), dan wil ik ook een functie in g(t) krijgen en niet in t, en dan moet ik dus analoog te werk gaan als bij het vorige geval. Als ik het geheel beschouw als een samengestelde functie van t echter, dan kan ik zonder problemen de kettingregel toepassen. Mijn hersenen geven dan geen "syntax error".

Over h(t) = (fog)(t) valt niet veel te zeggen, dit is gewoon "normaal" differentieren. Normaal gesproken zou het voor mij geen probleem zijn en zou ik deze vaker (of bijna altijd) gebruiken, maar dan zou ik bij een normale oefening nogal veel functies moeten definiëren zodat hun fysische betekenis minder duidelijk wordt. Je wilt meestal voor fysische grootheden geen 3 verschillende symbolen gebruiken gewoon omdat je een stomme differentiatie moet doen. Aan de andere kant wil ik ze ook niet allemaal hetzelfde noemen, anders klopt het wiskundig van geen kant meer. Als je met y(x) en y(t) 2 verschillende functies y bedoelt dan is dat wiskundig toch niet zo correct, want t invullen voor x in y(x) zou normaal gezien y(t) moeten geven.

Wat ik hier allemaal geschreven is is zoals het voor mij "aanvoelt", maar ik zou graag weten of er bepaalde regels zijn voor het schrijven van functievoorschriften, want het bronnenmateriaal dat ik vind geeft vaak geen voldoende antwoord op mijn vragen. Hopelijk kan iemand mij meer duidelijkheid geven hierover.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 maart 2009 - 14:21

Laat f een gegeven functie zijn, dan is f een afbeelding die aan een gegeven x de bijbehorende functiewaarde f(x) toevoegt, waarbij x het argument van de functie f wordt genoemd. In jouw voorbeeld f(x) = cos t heb je eigenlijk te maken met een functie f met argument x en een functie g(t) = cos t met argument t. Omdat f wel van x, maar niet van t afhangt, is f dus geen functie van t, maar wel van x. Hopelijk is het zo wat duidelijker voor je.

Veranderd door mathreak, 07 maart 2009 - 14:22

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 07 maart 2009 - 14:49

Ik kan je gedachtenkronkels niet helemaal volgen.
Even iets over functies.
Voorbeelden van functies zijn LaTeX .
Hiervan is het functievoorschrift bekend, behalve van de laatste twee LaTeX .
Bijvoorbeeld:
LaTeX en
LaTeX
De LaTeX is in deze voorbeelden een dummy!
Dus we kunnen ook schrijven:
LaTeX .

In LaTeX zie ik 2 dummies, x en t.
Hier staat niet LaTeX , want de dummy links en rechts verschillen.
Invullen van LaTeX en LaTeX geeft LaTeX
en invullen van LaTeX en LaTeX geeft LaTeX
Dus LaTeX . Onzin, dus LaTeX is onzin.

LaTeX geldt b.v. als LaTeX en LaTeX .

In LaTeX kun je LaTeX niet zien als een variabele, maar als een functiewaarde (een getal, afhankelijk van t).

Je schrijft: "Ik neem een functie f(x) = 2x".
Dat is geen functie, maar een functievoorschrift. LaTeX is de functie.

Wat betreft LaTeX .
Dit is GEEN quotient.
Je weet wat LaTeX betekent.
Dat is de afgeleide van f in het punt g(t) (is een getal), vermenigvuldigd met de afgeleide van g in t.
Als in LaTeX , LaTeX een funtie van t is, dus LaTeX ,
dan heeft LaTeX , LaTeX wel een betekenis, namelijk de
afgeleide van f in het punt LaTeX vermenigvuldigd met de afgeleide van LaTeX naar LaTeX .

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 08 maart 2009 - 10:49

Nog even iets over LaTeX .
Dit lijkt een breuk te zijn, maar dat komt door de lelijke (te vaak gebruikte) notatie.
Beter is de schrijfwijze LaTeX .
Dus LaTeX is de functie LaTeX
In de schrijfwijze LaTeX wordt de dummy LaTeX al aangegeven.

Stel LaTeX is een functie van LaTeX .
Dan heeft LaTeX een betekenis.
Het lijkt slordig dan hier LaTeX in staat in plaats van LaTeX .
Dat is ook slordig, maar die slordigheid ben je (al ben je daar niet echt van bewust) al lang gewend.
Neem de parabool LaTeX .
De afgeleide is LaTeX .
Zie wat hier gebeurd is. Hier is LaTeX een functie van LaTeX .
Dus correcter was geweest: LaTeX
en LaTeX .
Het argument van de functie LaTeX wordt dus doorgaans gewoon weggelaten, en dat is geen probleem omdat we daar gewend aan zijn geraakt.

Er geldt (kettingregel)
LaTeX
Het lijkt net of in het rechter lid een teller tegen een noemer wegvalt.
Dat is een makkelijk geheugensteuntje. Merk op dat in het linker deel van het product je de LaTeX moet zien als een variabele en in het rechter deel als een functie van LaTeX !





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures