Wat is precies het verschil tussen bereik en codomijn in een functie? Hoe kan een codomijn deel uitmaken van de definitie van een functie? Hoe kan het dat een codomijn omvattender is dan het beeld van de deelverzameling van het bereik?
Hoop dat iemand mij hiermee verder wil helpen?
Laatste berichten
-
08:56
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 11
-
23:56
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling
-
22:05
projectiel 7
-
21:48
Verschil tussen deze 2 vragen 4
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
12:15
Weerfrustratie 5
-
11:55
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
-
19 apr
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
18 apr
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Functies
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 24.578
Re: Functies
Net zoals het domein is, is het ook codomein 
Een functie f ligt vast indien het domein van f: A, het codomein van f: B, en een voorschrift y = f(x) gegeven wordt dat met elke x uit A een uniek beeld f(x) uit B levert. We noteren:
Dit leidt tot het voor sommige 'vreemde' resultaat dat twee functies met hetzelfde voorschrift en soms zelfs dezelfde grafiek, toch verschillend kunnen zijn. Bekijk bijvoorbeeld de vier functies:
- f1 is niet injectief, niet surjectief;
- f2 is wel injectief, niet surjectief;
- f3 is niet injectief, wel surjectief;
- f4 is injectief én surjectief, dus bijectief.
Als we de (blijkbaar niet onbelangrijke!) 'details' van domein en codomein weglaten, hebben ze nochtans allemaal het voorschrift f(x) = x².
Een functie f ligt vast indien het domein van f: A, het codomein van f: B, en een voorschrift y = f(x) gegeven wordt dat met elke x uit A een uniek beeld f(x) uit B levert. We noteren:
\(f : A \to B : x \mapsto f(x)\)
Het is mogelijk dat niet elke y uit B, het beeld is van een zekere x uit A. De verzameling van alle elementen uit B die wél het beeld zijn van een zekere x uit A, noemen we het beeld of bereik van f. Het is duidelijk dat dit beeld een deelverzameling moet zijn van B, het kan ook samenvallen met B (we noemen f dan surjectief).Dit leidt tot het voor sommige 'vreemde' resultaat dat twee functies met hetzelfde voorschrift en soms zelfs dezelfde grafiek, toch verschillend kunnen zijn. Bekijk bijvoorbeeld de vier functies:
\(f_1 : \rr \to \rr : x \mapsto x^2\)
\(f_2 : \rr^+ \to \rr : x \mapsto x^2\)
\(f_3 : \rr \to \rr^+ : x \mapsto x^2\)
\(f_4 : \rr^+ \to \rr^+ : x \mapsto x^2\)
Voor zover je die termen kent, kan je al een belangrijk verschil tussen deze functies zien:- f1 is niet injectief, niet surjectief;
- f2 is wel injectief, niet surjectief;
- f3 is niet injectief, wel surjectief;
- f4 is injectief én surjectief, dus bijectief.
Als we de (blijkbaar niet onbelangrijke!) 'details' van domein en codomein weglaten, hebben ze nochtans allemaal het voorschrift f(x) = x².
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 976
Re: Functies
Ja dit helpt wel een beetje. Bedankt. Ik heb nog vragen, maar ik stok nu een beetje in mij eigen rederen, omdat ik me afvraag waarom het beeld van X wordt machtverheven?
-
- Berichten: 24.578
Re: Functies
Ik begrijp niet goed wat je bedoelt...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 976
Re: Functies
Het was geloof ik ook een beetje een domme vraag...
Ik kwam het hier al een beetje tegen:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Bereik_(wiskunde)
Als ik het goed begrijp beantwoordt de functie de vraag naar of het beeld negatieve getallen bevat.
Omdat kwadrateren van een reeel getal nooit zal leiden tot een negatief getal is de eerste functie nooit surjectief, injectief of bijectief.
Bedankt voor de uitleg. Ik kan nu weer even verder lezen. Ik vraag me nu vooral af waarom het bereik een gevolg is van een functie en het codomein(goed geschreven nu ) deel uitmaakt van de definitie.
Ik kwam het hier al een beetje tegen:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Bereik_(wiskunde)
Als ik het goed begrijp beantwoordt de functie de vraag naar of het beeld negatieve getallen bevat.
Omdat kwadrateren van een reeel getal nooit zal leiden tot een negatief getal is de eerste functie nooit surjectief, injectief of bijectief.
\(x^2\)
was dus een aanname en voorwaarde, terwijl ik dacht dat het een gevolg was.Bedankt voor de uitleg. Ik kan nu weer even verder lezen. Ik vraag me nu vooral af waarom het bereik een gevolg is van een functie en het codomein(goed geschreven nu
) deel uitmaakt van de definitie. Als ik het goed zie geven deze termen een waarheidswaarde.Voor zover je die termen kent, kan je al een belangrijk verschil tussen deze functies zien:
-
- Berichten: 24.578
Re: Functies
theoriegeladen schreef:Als ik het goed begrijp beantwoordt de functie de vraag naar of het beeld negatieve getallen bevat.
Omdat kwadrateren van een reeel getal nooit zal leiden tot een negatief getal is de eerste functie nooit surjectief, injectief of bijectief.\(x^2\)Dat is een kwestie van definitie, dus keuze.Bedankt voor de uitleg. Ik kan nu weer even verder lezen. Ik vraag me nu vooral af waarom het bereik een gevolg is van een functie en het codomein(goed geschreven nu
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 976
Re: Functies
Ik ben mij aan het verdiepen of eigenlijk ben ik aan het verdwalen in de logica. Het lijkt dat ik nu echte wiskunde heb bereikt. Ik ben nu de onderstaande afbeelding tegengekomen. Ze leggen het als volgt uit in de wiki:
Wil jij er misschien wat uitleg bij plaatsen zodat ik kan leren redeneren met al die symbolen en proposities zonder steeds te moeten terugvallen op woorden? Ik vraag me af waarom er bv een constante inzit?Het bovenstaande wil zeggen: vanaf een bepaalde probleemgrootte N wordt A van boven af begrensd door functie g, maal een constante factor c. Oftewel: vanaf probleemgrootte N is de waarde g(n) altijd groter dan het aantal stappen dat A nodig heeft om een probleem met invoergrootte n op te lossen. Daarmee is g een bovengrens voor de complexiteit van A.
- Bijlagen
-
- d217ce89c4cad20543b647d8434e21ae.png (1.5 KiB) 789 keer bekeken
-
- Berichten: 24.578
Re: Functies
De constante waarover ze spreken is 'c' en daar begint het ook mee na de dubbele pijl: er staat dan
Verder hangt de A waarover het gaat af van een natuurlijk getal n, A(n). De eigenschap die ze voor A willen uitdrukken, hoeft niet te gelden voor elke n in A(n), maar wel vanaf een zekere 'grens'. Die grens noemen ze N en moet dus ook bestaan, dus:
Vervolgens willen we iets over A zeggen voor elke A(n), van zodra we verder kijken dan de grens die we net hebben ingevoerd.
Nu komt de uiteindelijke uitspraak over A(n), onder de bovenstaande voorwaarden blijft A(n) altijd onder c.g(n), met g de functie die voor de dubbele pijl werd ingevoerd, n een natuurlijk getal vanaf N en c een zekere reële constante.
\(\exists c>0\)
Dat wil zeggen: er bestaat een positief reëel getal c.Verder hangt de A waarover het gaat af van een natuurlijk getal n, A(n). De eigenschap die ze voor A willen uitdrukken, hoeft niet te gelden voor elke n in A(n), maar wel vanaf een zekere 'grens'. Die grens noemen ze N en moet dus ook bestaan, dus:
\(\exists N \in \nn\)
Dat wil dus zeggen: er bestaat een natuurlijk getal N.Vervolgens willen we iets over A zeggen voor elke A(n), van zodra we verder kijken dan de grens die we net hebben ingevoerd.
\(\forall n \ge N\)
Dat wil zeggen: voor elk (natuurlijk) getal n, groter dan of gelijk aan N (de 'grens').Nu komt de uiteindelijke uitspraak over A(n), onder de bovenstaande voorwaarden blijft A(n) altijd onder c.g(n), met g de functie die voor de dubbele pijl werd ingevoerd, n een natuurlijk getal vanaf N en c een zekere reële constante.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 976
Re: Functies
Hiermee kan wel weer even vooruit. Is het eigenlijk veel werk om zo'n functie te begrijpen en uit te werken?
Hoe verdeel je eigenlijk een formule in stukjes? In gesproken taal is het makkelijk om te zien dat een bijvoeglijk naamwoord bij een zelfstandig naamwoord hoort. Hoe weet je dat
Hoe verdeel je eigenlijk een formule in stukjes? In gesproken taal is het makkelijk om te zien dat een bijvoeglijk naamwoord bij een zelfstandig naamwoord hoort. Hoe weet je dat
\(\exists c>0\)
apart gelezen moet worden van \(\exists N\)
?-
- Berichten: 24.578
Re: Functies
Heb je het nu over een functie, of bedoel je zo'n uitdrukking met symbolen?Hiermee kan wel weer even vooruit. Is het eigenlijk veel werk om zo'n functie te begrijpen en uit te werken?
DieHoe verdeel je eigenlijk een formule in stukjes? In gesproken taal is het makkelijk om te zien dat een bijvoeglijk naamwoord bij een zelfstandig naamwoord hoort. Hoe weet je dat\(\exists c>0\)apart gelezen moet worden van\(\exists N\)?
\(\exists\)
en \(\forall\)
zijn zogenaamde kwantoren, samen met wat erachter hoort vormt dat een 'stukje'. Bij ingewikkeldere formules kan je haakjes gebruiken om duidelijker aan te geven wat samenhoort."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
