Springen naar inhoud

[wiskunde] goniometrie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

zakhooi

    zakhooi


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2009 - 14:29

Beste mensen,
ik heb een probleem bij het uiteindelijk antwoord van goniometrische vergelijkingen.
Neem bijvoorbeeld de volgende opgave:
Bereken exact de oplossing op[0, 2pi.gif] van sin(2x-1/3pi.gif) = -cos(x+1/3pi.gif)
Het oplossen van de vergelijking vind ik niet zo moeilijk, ik snap alleen niet wat ze bedoelen met op [0,2pi.gif]
Als ik de vergelijking oplos kom ik hier op uit:
x= 2+1/6pi.gif +k 2pi.gif V x= -1/6pi.gif +k 2/3pi.gif
Nu weet ik dat het antwoord is: x op [0,2pi.gif] geeft x= 1/6pi.gif x=1/2pi.gif x=1+1/6pi.gif en x=1+5/6pi.gif
Hoe komen ze hier aan, en wat bedoelen ze ermee ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 maart 2009 - 14:41

Ze bedoelen daarmee dat je van alle oplossingen (want er zijn er oneindig veel), enkel die in het opgegeven interval moet geven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Jeffreih

    Jeffreih


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2009 - 15:13

Bij zulke vragen vond ik zelf een tabel wel handig.

Geplaatste afbeelding

Dan enkel de waarden gebruiken waarvoor geldt dat 0<x<2pi.

#4

zakhooi

    zakhooi


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2009 - 15:21

edit:
ok dus met [0.2pi] bedoelen ze dat x daar tussen moet zitten ?
Dus als je hebt x= -K 2pi moet je zorgen dat x gelijk is aan -k 2pi en ook tussen de waarde 0 en 2pi ligt ?

Veranderd door zakhooi, 12 maart 2009 - 15:25


#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 maart 2009 - 15:23

De oplossingen van de vergelijking, stemmen (meetkundig gezien) inderdaad overeen met de snijpunten van de functies met als voorschriften precies het linker- en het rechterlid.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Jeffreih

    Jeffreih


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2009 - 15:33

edit:
ok dus met [0.2pi] bedoelen ze dat x daar tussen moet zitten ?
Dus als je hebt x= -K 2pi moet je zorgen dat x gelijk is aan -k 2pi en ook tussen de waarde 0 en 2pi ligt ?

Stel je komt uit op x=-k*2pi op het interval [0,2pi], dan moet je gehele waarden invullen voor k. Voor enkele waarden valt x binnen dit interval.

k | x
----------------------
-1 | -(-1)*2pi = 2pi
0 | 0*2pi = 0
1 | -1*2pi = -2pi
...

Hieruit valt af te leiden dat alleen de antwoorden x=0 en x=2pi gelden

Pas hetzelfde eens toe bij de door jouw gevonden oplossingen (x=2+pi/6+k*2pi V x=-pi/6+k*pi/3).

#7

zakhooi

    zakhooi


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2009 - 15:46

ooh, ik snap het ;)
x= 2+1/6pi +k 2pi V x= -1/6pi +k 2/3pi
Met die tabel heb je met echt geholpen, ik zat helemaal verkeerd te denken.
k | x
-1| geeft 1/6pi V geeft -5/6pi (geen oplossing)
1 | geeft 4+1/6pi (geen oplossing) V geeft 1/2pi
2 | (geen oplossing) V geeft 7/6
3 | V geeft 11/6
:P

#8

Jeffreih

    Jeffreih


  • >25 berichten
  • 27 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2009 - 15:56

Jup, je hebt 'm door. Je bent alleen k=0 vergeten, maar die geeft toch geen goeie oplossingen.

Het enige wat je daarna nog moet doen is die 'x' netjes overschrijven uit de tabel en je bent klaar.

LaTeX

Wel oppassen dat je op het interval blijft letten. In een proefwerk deed onze leraar op 't interval [0,4pi], waren weinig mensen die alle oplossingen toen hadden opgeschreven ;)

Veranderd door Jeffreih, 12 maart 2009 - 15:58


#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 maart 2009 - 15:58

Heb je wel goed begrepen wat die "k" daar eigenlijk doet?

Bekijk eens een eenvoudigere vergelijking: sin(x) = 0.

De sinus wordt 0 in x = 0, maar ook steeds een "hele draaiing" verder. Dus ook bij x = 2pi, x = 4pi, enzovoort. Je kan dit algemeen noteren: x = k.2pi met k een geheel getal. Maar de sinus wordt ook 0 in x = pi. Ook hier mag je weer veelvouden van 2pi bijtellen, dus ook nog k = pi+k.2pi. Eventueel kan je deze oplossingen nog samennemen tot x = k.pi. Voor elke k, levert dit dus een oplossing.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

zakhooi

    zakhooi


  • >25 berichten
  • 62 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2009 - 16:38

Ja dit wist ik. Op een of andere manier zat ik bij het interval te denken aan coördinaten.
Hierdoor raakte ik nogal in de war. Wat ik ook verwarrend vind is dat ze bij het interval 2pi nemen.
Hierdoor zat ik de hele tijd aan de exacte waarden-cirkel te denken.
Ik moet inderdaad letten op de waarde van het interval, dit bedacht ik me ook al.
Bedankt voor jullie hulp.

Veranderd door zakhooi, 12 maart 2009 - 16:40


#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 maart 2009 - 17:30

Ze nemen meestal van 0 tot 2pi omdat dit interval de volledige cirkel (en dus periode van sin(x) en cos(x)) precies één keer omvat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures