Wiskundige uitdagingen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 829

Wiskundige uitdagingen

Ik dacht hier een topic te starten met wiskundige oefeningen die een uitdagend niveau hebben, of waarbij je eventjes moet nadenken.

De regels moeten volgens mij zijn:

- Er moet een oplossing bestaan

- Deze moet je ook zelf kennen als beginner van een uitdaging

- Geen 3 pagina's lange oefeningen (Hou het dus een beetje kort)

- Geen al te specifieke wiksunde. De oefeningen moeten te maken zijn met een basiskennis, geen wiskunde van een derde bachelor wiskunde bijvoorbeeld

- Diegene die het juist oplost mag een volgende uitdaging posten

- Bij de oplossing dient ook vermeld te worden hoe je er aan komt.

Omdat dit het eerste bericht is, begin ik met een eenvoudig uitdaging (makkelijk dus)

Uitdaging 1:

Kan je volgende som ook zonder oneindige som schrijven als je weet dat
\(0<x<1\)
\(1+(x+x^2)+(x^2+x^3+x^4)+(x^3+x^4+x^5+x^6)+...\)
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."

--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Wiskundige uitdagingen

\(\frac{1}{(1-x)(1-x^2)}\)


edit:foutje verbeterd.

Gebruikersavatar
Berichten: 829

Re: Wiskundige uitdagingen

Ik dacht van niet, het kan echter zijn dat er een fout in m'n opgave staat, ik kijk het even na. Verder denk ik ook dat een verklaring op z'n plaats is

edit: nu kopt het inderdaad, maar ik denk dat het ook wel handig is om even uit te leggen hoe je er aan komt, en natuurlijk een volgende opdracht te posten.
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."

--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Wiskundige uitdagingen

\(1+(x+x^2)+(x^2+x^3+x^4)+(x^3+x^4+x^5+x^6)+...=\sum x^n+x^2\sum x^n+x^4\sum x^n+...\)


Je ziet immers eenvoudig (elke nieuwe term in de haakjes eindigt op een even term) in dat machten hoger dan 2 1 keer extra voorkomen, machten hoger dan 4 nog een keer extra, ...

Nieuwe opgave volgt.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Wiskundige uitdagingen

Bestaat een
\(f:\rr^2\backslash{(0,0)}\rightarrow\rr\)
, zo dat in
\(\rr^2\backslash{(0,0)}\)
geldt dat
\(\left[\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]=\nabla f(x,y)\)
? Indien ja, bepaal f. Indien nee, bewijs.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Wiskundige uitdagingen

Als f bestaat zodat
\(\left[\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]=\nabla f(x,y)\)
Dan zou gelden
\(f_x = \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}} \;\mbox{ en }\; f_y = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
Maar hieruit volgt dat
\(f_{xy} = \partial_y f_x \ne \partial_x f_y = f_{yx}\)
Zoiets?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Wiskundige uitdagingen

Mijn oprechte excuses.
Bestaat een
\(f:\rr^2\backslash{(0,0)}\rightarrow\rr\)
, zo dat in
\(\rr^2\backslash{(0,0)}\)
geldt dat
\(\left[\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right]=\nabla f(x,y)\)
? Indien ja, bepaal f. Indien nee, bewijs.
Dit moest zijn:

Bestaat een
\(f:\rr^2\backslash{(0,0)}\rightarrow\rr\)
, zo dat in
\(\rr^2\backslash{(0,0)}\)
geldt dat
\(\left[\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right]=\nabla f(x,y)\)
? Indien ja, bepaal f. Indien nee, bewijs.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Wiskundige uitdagingen

\(f(x,y) = - \arctan\frac{x}{y}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: Wiskundige uitdagingen

TD schreef:Als f bestaat

dan zou gelden
\(f_{xy} = \partial_y f_x \ne \partial_x f_y = f_{yx}\)
Zoiets?
Dat hoeft niet te gelden, want er is niets gezegd over differentieerbaarheid.

Je ziet in een oogopslag dat de partiele afgeleiden functies zijn van
\(\frac{y}{x}\)
.

Ook aan de vergelijking
\(x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = 0\)
voldoen alle functies die afhangen van 1 parameter
\(\frac{y}{x}\)
.

En daar zit de kneep, want als
\(f(x,y) = g(\frac{y}{x})\)
,

dan voldoen de partiele afgeleiden naar x en y van g niet aan de eisen.

Dus er is geen oplossing.

Verhip, blijkbaar een foutje gemaakt. J je hebt gelijk
\(f(x,y) = - \arctan\frac{x}{y}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Wiskundige uitdagingen

Dat hoeft niet te gelden, want er is niets gezegd over differentieerbaarheid.
Ik weet dat dat niet altijd geldt (het gelijk zijn van de gemengde tweede orde partiële afgeleiden), maar het geldt toch wel wanneer de tweede orde partiële afgeleiden continu zijn? De partiële afgeleiden zijn gegeven (in de veronderstelling dat zo'n f bestaat) en die lijken me continu differentieerbaar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: Wiskundige uitdagingen

Ik moet je helaas weer gelijk geven.

Berichten: 4.246

Re: Wiskundige uitdagingen

Kan je een nieuwe opgave geven, TD?
Quitters never win and winners never quit.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Wiskundige uitdagingen

\(f(x,y) = - \arctan\frac{x}{y}\)
Deze functie is niet continu in
\(\rr^2\)
, dus kan
\(\nabla f\)
onmogelijk overal gelijk zijn aan de opgave.

Gebruikersavatar
Berichten: 829

Re: Wiskundige uitdagingen

Inderdaad, maar het domein moet gewoon wat verlaagd worden. Het komt er op neer dat x niet gelijk aan 0 mag zijn.

Anders bestaat er volgens mij eenvoudigweg geen zo'n functie, maar ik kan het nu even niet bewijzen.
"Als je niet leeft zoals je denkt, zul je snel gaan denken zoals je leeft."

--Vladimir Lenin-- (Владимир Ильич Ульянов)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Wiskundige uitdagingen

Bedoel je niet y?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer