Springen naar inhoud

Bewijs van binomiale verdeling naar poissonverdeling


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Poissonsearcher

    Poissonsearcher


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 maart 2009 - 14:31

Ik doe een eindwerk over Poisson en heb een bewijs gevonden om van de binomiale verdeling over te gaan naar de
Poissonverdeling, echter vraag ik me af of onderstaande klopt:

= λ^k/k!〖(1- λ/n)〗^n [n!/(n^k (n-k)!)]〖(1- λ/n)〗^(-k)

Als men de index k vast kiest zodat aan deze voorwaarde wordt voldaan: 0 ≤ k ≤ n.
naar wat nadert λ^k/k! dan??

Bij voorbaat dank!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

ametim

    ametim


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 maart 2009 - 21:28

Je wilt van laten zien dat LaTeX
Laat eens zien welke stappen je neemt en waar je vast zit.

#3

ametim

    ametim


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 maart 2009 - 23:39

Hint:
Verborgen inhoud

Probeer de limiet om te schrijven zodat je het volgende overhoudt: LaTeX , waarbij je dan moet laten zien dat LaTeX

#4

Poissonsearcher

    Poissonsearcher


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2009 - 21:54

3.1 Het bewijs

We nemen n zeer groot en p zeer klein zodat np steeds gelijk is aan de constante λ. In dat geval zal het volgende gelden:

lim┬(n→∞,p→0)⁡(n¶k) p^k 〖(1-p)〗^(n-k) = ℮^(-λ) λ^k/k! voor k = 0,1,Ö,
Als we np nu constant op de λ houden, mogen we schrijven dat:

(n¶k) p^k (1-p)^(n-k)
= (n¶k) (λ/n)^k (1- λ/n)^(n-k)
=n!/k!(n-k)! λ^k/n^k 〖(1- λ/n)〗^n/〖(1- λ/n)〗^k
= λ^k/k!(〖1- λ/n)〗^n [n!/(n^k (n-k)!)](〖1- λ/n)〗^(-k)

Nu gaan we de index k vast kiezen zodat ze voldoet aan de voorwaarde 0 ≤ k ≤ n.
Hierna gaan we de verschillende factoren apart bestuderen. Voor de derde factor geldt:

n!/(n^k (n-k)!)= (n(n-1)Ö(n-k+1))/n^k
= (1-1/n)(1-2/n) .. (1-(k-1)/n)
De derde factor gaat dus bij de vaste k naar 1 als n → + ∞.
Voor de laatste factor, nl. (〖1- λ/n)〗^(-k) geldt ook dat bij vaste k deze naar 1 gaat als n → + ∞.
Ook de eerste factor nadert naar ??
Nu blijft de factor (〖1- λ/n)〗^n over.
Hoe gedraagt deze zich bij n → + ∞? Daarvoor hebben we een belangrijke eigenschap van het getal ℮ voor nodig. We weten immers dat het getal ℮ ook gekarakteriseerd wordt door

〖e = 〗⁡lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/n)^n 〗

Meer algemeen geldt het resultaat dat

lim┬(n→∞)⁡〖(1+ b/n)^n 〗= ℮^b

voor elk reŽel getal b. Dit betekent dat (〖1- λ/n)〗^n naar ℮^(-λ) gaat als n →∞.
Hiermee bewijzen we de limietrelatie.

#5

ametim

    ametim


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2009 - 02:33

Zier er goed, nog even samenvattend:
LaTeX
LaTeX

Nu gaat de laatste term naar 1, dus blijft over om te laten zien dat:LaTeX

Zoals je zelf al opmerkte geldt dat: LaTeX

Dus geldt: LaTeX , voor LaTeX





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures