Raaklijnen

mroels

Hallo,

Bij het grasduinen in oude schoolboeken wiskunde botste ik op een uitdagende opgave. Ik brak er mijn hoofd over, maar een oplossing bleef alsnog uit. Hier volgt ie:

Teken een vierhoek ABCD omgeschreven aan een cirkel. Als AB = 4, BC = 5 en CD = 3 dan is AD gelijk aan

A. 1

B. 2

C. 2.4

D. 3

E 3.75

De tip is dat een vierhoek omgeschreven is aan een cirkel als de cirkel raakt aan de vier zijden van de cirkel. Hoeveel gegevens ik er ook uit haal, het antwoord blijf ik bijster. Wie helpt me uit mijn hersenpijnigingen? Een hint is ook heel welkom!

M.

Klintersaas

ABCD is een raaklijnenvierhoek. Een eigenschap van raaklijnenvierhoeken is dat de sommen van de overstaande zijden gelijk zijn:

\(a + c = b + d\)

mroels

Klintersaas schreef:ABCD is een raaklijnenvierhoek. Een eigenschap van raaklijnenvierhoeken is dat de sommen van de overstaande zijden gelijk zijn:

\(a + c = b + d\)

bedankt. kan je dat ook verklaren?

m.

Klintersaas

Een bewijsje.

Uit elk hoekpunt van een raaklijnenvierhoek kun je twee raaklijnen tekenen aan de ingeschreven cirkel. Deze raaklijnen zijn bovendien elkaars spiegelbeeld t.o.v. de rechte door dit hoekpunt en het middelpunt van de cirkel. Daaruit volgt dat de twee raaklijnstukken vanuit het hoekpunt tot de beide raakpunten even lang zijn. Nu is het even tijd voor een figuur (misschien een beetje druk, maar goed):

: raaklijnenvierhoek.png (8.25 KiB) 627 keer bekeken

De stelling die we moeten bewijzen is dus de volgende:

\(|AB| + |CD| = |BC| + |AD|\)

In bovenstaande figuur is P het raakpunt op lijnstuk [AB], Q het raakpunt op lijnstuk [BC], R het raakpunt op lijnstuk [CD] en S het raakpunt op lijnstuk [DA]. Vanwege de symmetrie weten we dat

\(|PB| = |BQ| = b\)

,

\(|QC| = |CR| = c\)

,

\(|RD| = |DS| = d\)

en

\(|SA| = |AP| = a\)

.

Hieruit volgt dat:

\(|AB| = a + b\)
\(|CD| = c + d\)
\(|BC| = b + c\)
\(|AD| = a + d\)

Nu zijn we er. Als we naar de te bewijzen stelling kijken zien we immers het volgende:

\(|AB| + |CD| = |BC| + |AD| \Leftrightarrow a + b + c + d = b + c + a + d \Leftrightarrow a + b + c + d = a + b + c + d\)

QED

Is het bewijs duidelijk? Zie ook hier.

mroels

Ja, het bewijs is duidelijk. Heel erg bedankt!

M.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Raaklijnen

Raaklijnen

Re: Raaklijnen

Re: Raaklijnen

Re: Raaklijnen

Re: Raaklijnen