Springen naar inhoud

Raaklijnen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

mroels

    mroels


  • 0 - 25 berichten
  • 16 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2009 - 16:52

Hallo,

Bij het grasduinen in oude schoolboeken wiskunde botste ik op een uitdagende opgave. Ik brak er mijn hoofd over, maar een oplossing bleef alsnog uit. Hier volgt ie:

Teken een vierhoek ABCD omgeschreven aan een cirkel. Als AB = 4, BC = 5 en CD = 3 dan is AD gelijk aan

A. 1
B. 2
C. 2.4
D. 3
E 3.75

De tip is dat een vierhoek omgeschreven is aan een cirkel als de cirkel raakt aan de vier zijden van de cirkel. Hoeveel gegevens ik er ook uit haal, het antwoord blijf ik bijster. Wie helpt me uit mijn hersenpijnigingen? Een hint is ook heel welkom!

M.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2009 - 17:00

ABCD is een raaklijnenvierhoek. Een eigenschap van raaklijnenvierhoeken is dat de sommen van de overstaande zijden gelijk zijn:

LaTeX

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#3

mroels

    mroels


  • 0 - 25 berichten
  • 16 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2009 - 16:03

ABCD is een raaklijnenvierhoek. Een eigenschap van raaklijnenvierhoeken is dat de sommen van de overstaande zijden gelijk zijn:

LaTeX


bedankt. kan je dat ook verklaren?

m.

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 maart 2009 - 19:50

Een bewijsje.

Uit elk hoekpunt van een raaklijnenvierhoek kun je twee raaklijnen tekenen aan de ingeschreven cirkel. Deze raaklijnen zijn bovendien elkaars spiegelbeeld t.o.v. de rechte door dit hoekpunt en het middelpunt van de cirkel. Daaruit volgt dat de twee raaklijnstukken vanuit het hoekpunt tot de beide raakpunten even lang zijn. Nu is het even tijd voor een figuur (misschien een beetje druk, maar goed):

raaklijnenvierhoek.png

De stelling die we moeten bewijzen is dus de volgende:

LaTeX

In bovenstaande figuur is P het raakpunt op lijnstuk [AB], Q het raakpunt op lijnstuk [BC], R het raakpunt op lijnstuk [CD] en S het raakpunt op lijnstuk [DA]. Vanwege de symmetrie weten we dat LaTeX , LaTeX , LaTeX en LaTeX .

Hieruit volgt dat:Nu zijn we er. Als we naar de te bewijzen stelling kijken zien we immers het volgende:

LaTeX

QED

Is het bewijs duidelijk? Zie ook hier.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

mroels

    mroels


  • 0 - 25 berichten
  • 16 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2009 - 16:00

Ja, het bewijs is duidelijk. Heel erg bedankt!

M.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures