Springen naar inhoud

Tweede orde differentiaalvergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2009 - 17:09

Vandaag bespraken we in de les fysica de harmonische trilling. Daarbij kwam volgende tweede orde differentiaalvergelijking ter sprake:

LaTeX

Hierin staat m voor massa, s voor elongatie, t voor tijd en k voor veerconstante. Onze leraar beweerde dat hij die vergelijking niet kon oplossen en beloofde ons om tien keer te pompen indien ťťn van ons vandaag nog een oplossing zou vinden. Hij verkeerde hierbij in de veronderstelling dat wij, die nog maar pas bezig zijn met integraalrekening, nooit een dergelijke differentiaalvergelijking zouden kunnen oplossen.

Daar heeft hij uiteraard gelijk in, maar wat hij over het hoofd heeft gezien is dat zijn leerlingen over een krachtig medium beschikken, nl. het internet.

Ik zou dan ook willen vragen of iemand van jullie in staat is om deze differentiaalvergelijking op te lossen naar s.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2009 - 17:17

Verwacht de leerkracht een uitwerking, of maak je al indruk met de algemene oplossing? Die is:

LaTeX

Hierin is LaTeX en de c's zijn constanten die afhangen van de beginvoorwaarden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2009 - 17:20

Met de algemene oplossing ben ik al zeker tevreden, maar ik vrees dat hij zal vragen hoe ik eraan kom. Mocht dat niet te veel werk zijn, zou je dan even de uitwerking kunnen plaatsen?

Je bent in ieder geval reeds enorm bedankt namens mijn hele klas.

Veranderd door Klintersaas, 17 maart 2009 - 17:20

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2009 - 17:29

Ik kan natuurlijk wel een uitwerking plaatsen, maar het lijkt me sterk dat je leerkracht niet zou doorhebben dat jullie dat niet zelf "uitgevonden" hebben als jullie die methode nog niet gezien hebben... Wie weet, het kan toch leuk zijn.

Deze tweede orde differentiaalvergelijking heeft constante coŽfficiŽnten en is bovendien homogeen. De algemene oplossing is dan van de vorm

LaTeX

Hierin zijn a en b de oplossingen van de karakteristieke vergelijking. Die bekom je door substitutie van ext in de differentiaalvergelijking. Dit leidt tot de volgende kwadratische vergelijking in x:

mx≤ + k = 0

Omdat m en k positief zijn, levert dit de complexe oplossingen x = ;) i sqrt(k/m). Maar in de reŽle wereld werken we liever niet met complexe getallen, dus schrijven we dit om naar sinus en cosinus. Met behulp van de complexe definities van sin en cos kan je tonen dat een oplossing van de vorm

LaTeX

van deze differentiaalvergelijking, equivalent is met een oplossing van de vorm

LaTeX

Meestal doet men dat een keer algemeen en wordt er bij complexe wortels van de karakteristieke vergelijking direct naar deze oplossingsvorm gegaan. In ons geval was a = ω = sqrt(k/m).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2009 - 17:37

Ongelofelijk! Kan je een filmpje maken?

In mijn tijd op de middelbare school stond er iets in de vorm van "de vorm van de differentiaalvergelijking suggereert dat de functie, op ťťn constante een tweede afgeleide heeft gelijk aan de functie"
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#6

Lunae

    Lunae


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2009 - 17:40

namens mijn hele klas.


Maken jullie gezamenlijk huiswerk ;) o.i.d.

In ieder geval, voor de volledigheid, c1 = s(0) en c2 = s'(0) * wortel van m/k

Nee hoor, zoals je in de beginpost kunt lezen ging het hier om een weddenschap met een leraar.

Ik heb alleen TD's gelezen dus uhm excuses.

Veranderd door Lunae, 17 maart 2009 - 17:46


#7

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2009 - 17:44

Ik kan natuurlijk wel een uitwerking plaatsen, maar het lijkt me sterk dat je leerkracht niet zou doorhebben dat jullie dat niet zelf "uitgevonden" hebben als jullie die methode nog niet gezien hebben... Wie weet, het kan toch leuk zijn.

Uiteraard weet mijn leerkracht dat ik de uitwerking niet zelf gevonden kan hebben, maar dat deert niet. Het is een kwestie van het spel meespelen wanneer hij om een uitwerking vraagt.

Deze tweede orde differentiaalvergelijking heeft constante coŽfficiŽnten en is bovendien homogeen. De algemene oplossing is dan van de vorm

Bericht bekijken

Maken jullie gezamenlijk huiswerk ;) o.i.d.

Nee hoor, zoals je in de beginpost kunt lezen ging het hier om een weddenschap met een leraar.

In ieder geval, voor de volledigheid, c1 = s(0) en c2 = s'(0) * wortel van m/k

Bedankt.

Veranderd door Klintersaas, 17 maart 2009 - 17:43

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2009 - 17:44

Ik ben benieuwd... Pompen... ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Lunae

    Lunae


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2009 - 19:54

En als hij vraagt om het nog in de vorm van 1 enkele trilling te schrijven:

LaTeX
(als hij het kent zeer onwaarschijnlijk dus ;), maarja)

Voor de afleiding: kies y = c * sin(sqrt[k/m]t + fase) en dan nog wat rotzooien

Veranderd door Lunae, 17 maart 2009 - 20:05


#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2009 - 20:03

Is het niet de bedoeling dat dit functie van t blijft...? Wellicht bedoel je gewoon t in plaats van omega?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Lunae

    Lunae


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2009 - 20:05

Aangepast en ik was vergeten dat u/jullie boven omega als constante hadden gedefinieerd.

#12

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 maart 2009 - 22:11

LaTeX


(als hij het kent zeer onwaarschijnlijk dus ;), maarja)

Nog een vraagje: waar komt die b vandaan?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#13

Lunae

    Lunae


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2009 - 12:27

Sorry ik had eerst alles in a/b en nu dus c1/c2.

#14

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2463 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2009 - 18:38

Uitgaande van de formule voor de elongatie kun je zelf afleiden dat de d.v. inderdaad het gedrag van een harmonische trilling beschrijft.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#15

elpipo

    elpipo


  • 0 - 25 berichten
  • 1 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2010 - 14:39

Met behulp van de complexe definities van sin en cos kan je tonen dat een oplossing van de vorm

LaTeX



van deze differentiaalvergelijking, equivalent is met een oplossing van de vorm

LaTeX


Hoe doe je dat precies? Ik weet dat:
LaTeX en LaTeX
Maar als je die optelt, heb je toch nog steeds een complex getal?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures