Springen naar inhoud

Lijn in een driehoek


  • Log in om te kunnen reageren

#1

hzeil

    hzeil


  • >1k berichten
  • 1379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2009 - 13:04

Gegeven een driehoek ABC. Algemeen bekend is dat de drie hoogtelijnen, zwaartelijnen en bissectrices
van iedere driehoek door een punt gaan.
Minder bekend is dat er nog een vierde lijn in een driehoek zit waarvan de naam mij onbekend is. Drie van die "vierde lijnen" CD gaan ook door een punt.
Definitie: C is de tophoek, lijnstuk AB de basis. Ergens op het lijnstuk AB ligt het punt D.
D is zo gedefinieerd dat BC maal AD plus AC maal DB is gelijk aan AB kwadraat. Hoe noem je deze z.g. vierde lijn CD
en hoe bewijs je dat drie van deze lijnen in een driehoek ook door een punt gaan?
Uitleggen is beter dan verwijzen naar een website

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 maart 2009 - 13:10

Verplaatst naar meetkunde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 20 maart 2009 - 15:29

Veronderstel LaTeX
LaTeX (*) en LaTeX .

Dan is (vermenigvuldigen met BC:
LaTeX .
trek deze vergelijking af van (*):
LaTeX
ofwel
LaTeX ,
want DB<AB,

Merk op dat AB-BC>0 en AC-BC>0
zodat LaTeX ,
ofwel LaTeX , maar dat is in strijd met ons uitgangspunt.
Dus zo'n punt bestaat helemaal niet.

#4

hzeil

    hzeil


  • >1k berichten
  • 1379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 maart 2009 - 19:22

Peter Pan, dank voor je berekening. Maar ik ben het niet eens met je conclusie. Ik had het constructief al geverifieerd met driehoeken met zijden als 6,8 en 12 cm en een paar andere. Van elke driehoek heb ik de drie punten "D" berekend en in de figuren geplaatst. Steeds bleken de drie lijnen door een punt te gaan. Zo kreeg ik dus zekerheid voor mijzelf. Alleen het klassieke meetkundige bewijs ontbrak.

Ik denk dat ik weet waar het in jouw berekening fout gaat. Namelijk in je eerste veronderstelling. Die moet je weglaten. Waarom wil je afbreuk doen aan de algemeenheid door een gelijkzijdige en een gelijkbenige driehoek uit te sluiten?

Maar ook je tweede veronderstelling DB<AB is niet goed. Want het punt D kan ook links van A en rechts van B op de ge-extrapoleerde basislijn liggen. Dat bleek ook uit mijn berekeningen van de plaats van D. Bij een driehoek ligt het hoogtepunt er ook wel eens buiten.
Hopenlijk lukt de bewijsvoering wel als we hiermee rekeningen houden.
Uitleggen is beter dan verwijzen naar een website

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 21 maart 2009 - 09:38

Voor elke niet gelijkbenige driehoek geldt LaTeX ; zo niet,
dan geldt het na verwisseling van benamingen voor de hoekpunten A, B en C.
Kortom,
Een driehoek is gelijkbenig, of het punt waar de 3 lijnen elkaar snijden ligt buiten de driehoek.

#6

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 18 mei 2009 - 11:09

Gegeven een driehoek ABC. Algemeen bekend is dat de drie hoogtelijnen, zwaartelijnen en bissectrices van iedere driehoek door een punt gaan.
Minder bekend is dat er nog een vierde lijn in een driehoek zit waarvan de naam mij onbekend is.

De drie middelloodlijnen (of assen van de zijden) gaan door ťťn punt. Dat punt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
Bedoelde je deze?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures