Gegeven een driehoek ABC. Algemeen bekend is dat de drie hoogtelijnen, zwaartelijnen en bissectrices
van iedere driehoek door een punt gaan.
Minder bekend is dat er nog een vierde lijn in een driehoek zit waarvan de naam mij onbekend is. Drie van die "vierde lijnen" CD gaan ook door een punt.
Definitie: C is de tophoek, lijnstuk AB de basis. Ergens op het lijnstuk AB ligt het punt D.
D is zo gedefinieerd dat BC maal AD plus AC maal DB is gelijk aan AB kwadraat. Hoe noem je deze z.g. vierde lijn CD
en hoe bewijs je dat drie van deze lijnen in een driehoek ook door een punt gaan?
Laatste berichten
-
23:25
2013 – Augustus Vraag 3
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
23:04
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 5
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Lijn in een driehoek
-
- Berichten: 24.578
Re: Lijn in een driehoek
Verplaatst naar meetkunde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Lijn in een driehoek
Veronderstel
Dan is (vermenigvuldigen met BC:
trek deze vergelijking af van (*):
want DB<AB,
Merk op dat AB-BC>0 en AC-BC>0
zodat
ofwel
Dus zo'n punt bestaat helemaal niet.
\(BC < AC < AB\)
\(BC\cdot AD + AC\cdot DB = AB^2\)
(*) en \(AD + DB = AB\)
.Dan is (vermenigvuldigen met BC:
\(BC\cdot AD + BC\cdot DB = BC\cdot AB\)
.trek deze vergelijking af van (*):
\(DB(AC-BC) = AB(AB-BC)\)
ofwel\(DB = \frac{AB(AB-BC)}{AC-BC} < AB\)
,want DB<AB,
Merk op dat AB-BC>0 en AC-BC>0
zodat
\(0 < \frac{AB-BC}{AC-BC} < 1\)
,ofwel
\(AB < AC\)
, maar dat is in strijd met ons uitgangspunt.Dus zo'n punt bestaat helemaal niet.
-
- Berichten: 1.379
Re: Lijn in een driehoek
Peter Pan, dank voor je berekening. Maar ik ben het niet eens met je conclusie. Ik had het constructief al geverifieerd met driehoeken met zijden als 6,8 en 12 cm en een paar andere. Van elke driehoek heb ik de drie punten "D" berekend en in de figuren geplaatst. Steeds bleken de drie lijnen door een punt te gaan. Zo kreeg ik dus zekerheid voor mijzelf. Alleen het klassieke meetkundige bewijs ontbrak.
Ik denk dat ik weet waar het in jouw berekening fout gaat. Namelijk in je eerste veronderstelling. Die moet je weglaten. Waarom wil je afbreuk doen aan de algemeenheid door een gelijkzijdige en een gelijkbenige driehoek uit te sluiten?
Maar ook je tweede veronderstelling DB<AB is niet goed. Want het punt D kan ook links van A en rechts van B op de ge-extrapoleerde basislijn liggen. Dat bleek ook uit mijn berekeningen van de plaats van D. Bij een driehoek ligt het hoogtepunt er ook wel eens buiten.
Hopenlijk lukt de bewijsvoering wel als we hiermee rekeningen houden.
Ik denk dat ik weet waar het in jouw berekening fout gaat. Namelijk in je eerste veronderstelling. Die moet je weglaten. Waarom wil je afbreuk doen aan de algemeenheid door een gelijkzijdige en een gelijkbenige driehoek uit te sluiten?
Maar ook je tweede veronderstelling DB<AB is niet goed. Want het punt D kan ook links van A en rechts van B op de ge-extrapoleerde basislijn liggen. Dat bleek ook uit mijn berekeningen van de plaats van D. Bij een driehoek ligt het hoogtepunt er ook wel eens buiten.
Hopenlijk lukt de bewijsvoering wel als we hiermee rekeningen houden.
Uitleggen is beter dan verwijzen naar een website
Re: Lijn in een driehoek
Voor elke niet gelijkbenige driehoek geldt
dan geldt het na verwisseling van benamingen voor de hoekpunten A, B en C.
Kortom,
Een driehoek is gelijkbenig, of het punt waar de 3 lijnen elkaar snijden ligt buiten de driehoek.
\(BC < AC < AB\)
; zo niet,dan geldt het na verwisseling van benamingen voor de hoekpunten A, B en C.
Kortom,
Een driehoek is gelijkbenig, of het punt waar de 3 lijnen elkaar snijden ligt buiten de driehoek.
-
- Berichten: 3.112
Re: Lijn in een driehoek
De drie middelloodlijnen (of assen van de zijden) gaan door één punt. Dat punt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.hzeil schreef:Gegeven een driehoek ABC. Algemeen bekend is dat de drie hoogtelijnen, zwaartelijnen en bissectrices van iedere driehoek door een punt gaan.
Minder bekend is dat er nog een vierde lijn in een driehoek zit waarvan de naam mij onbekend is.
Bedoelde je deze?
