Vallende stokken

Moderator: physicalattraction

Reageer
Berichten: 208

Vallende stokken

Hey,

Ik zit met een vraagje.

Stel je hebt 2 stokken, die aan 1 uiteinde met elkaar verbonden zijn. En ze kunnen vrij scharnieren.

Lengte: 2L. In het midden van elke stok bevindt zich een puntmassa m.

Stok 1 staat bijna recht omhoog langs de verticaal. Klein hoekje a t.o.v. verticaal

stok 2 staat daar weer op met klein hoekje b t.o.v. de verticaal alleen andere kant van verticaal.

het onderste uiteinde van stok 1 blijft op zijn plek.

De vraag is nu wat is de kinetische energie van het systeem??

Ik had zelf bedacht:

x massa stok1= L Sin a

y massa stok1= L Cos a

x massa stok2= 2L Sin a - L Sin b

y massa stok2= 2L Cos a + L Cos b

met

T=Tstok1+Tstok2= .5m ((dx massa stok1/dt)^2+(dy massa stok1/dt)^2))+.5m ((dx massa stok2/dt)^2+(dy massa stok2/dt)^2))

volgt bij mij dat

T= m L ( 2.5 L (da/dt)^2 +.5 db/dt L - 2 da/dt db/dt L Cos[a+b]

Ik twijfel eraan of dit goed is... Want als ik d.m.v. Lagrange-vergelijkignen dan d^2a/dt^2 en d^2b/dt^2 uitreken komt er iets heel vaags uit.

Alleen ik denk dat er een veel simpelere manier is om dit uit te rekenen.

Heeft iemand een idee?

Misschien met andere positievergelijkingen? of dat de snelheidsvergelijking anders moet?

Alvast bedankt

Berichten: 4.246

Re: Vallende stokken

Kan je een tekening maken en is de lengte van elke stok L?
Quitters never win and winners never quit.

Berichten: 208

Re: Vallende stokken

Hierbij een tekening.

Voor de duidelijkheid één stok heeft lengte 2L, dus de puntmassa bevindt zich op lengte L ;)

Afbeelding

Hoop dat het zo duidelijker is.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Vallende stokken

In laagste orde moet je voor de kinetische energie
\(\frac{mL}{2}\left(5(\dot{a})^2-4\dot{a}\dot{b}+(\dot{b})^2\right)\)
bekomen. Dat lijkt overeen te stemmen met wat je schrijft (?). Merk op dat dit in 2de orde is in a en b. Heb je ook V tot 2de orde berekend?

Berichten: 208

Re: Vallende stokken

Wat betekend eerste orde en tweede orde?

gewoon de afgeleide naar t?

en ben je geen kwadraatje vergeten bij de L?

of staat \dot{a} voor iets anders dan \frac{da}{dt}?

Of snap ik ik het niet ;)

edit:

Ik heb voor V:

V= mgL (3 Cos[a]+Cos) genomen

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Vallende stokken

OK, dat is allemaal nog in orde. Ik had al gebruik gemaakt van het feit dat a en b klein zijn (met orde bedoelde ik dus de graad van de taylorbenadering in a, b,
\(\dot{a}\)
,
\(\dot{b}\)
), maar dat is op dit punt nog niet per se nodig (hoewel iets eenvoudiger). Als je nu de Lagrangevergelijkingen neerschrijft zou je correcte vergelijkingen moeten krijgen (maar je zal ze niet kunnen integreren, daarvoor moet je gebruiken dat a en b klein zijn).

Berichten: 208

Re: Vallende stokken

Dus als ik het goed begrijp, en op Uw manier doe...

(ik krijg die latex-codes niet aan de praat, dus voeg ff een snel gemaakt plaatje toe met alles erin)

Volgt:

Afbeelding

en met (1) en (2) kan ik dan eventueel de hoekversnellingen berekenen?

Klopt dit dan zo (voor hoek a en hoek b klein)?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Vallende stokken

Opgelet! V tot tweede orde ontwikkelen! Anders benaderen we niet consistent, en komen we tot verkeerde resultaten.

edit: latex voer je hier in door
\( *code* [/tex ] te typen, maar dan zonder spatie.\)

Berichten: 208

Re: Vallende stokken

oke dus dan wordt
\( V=mgL(3-\frac{3}{2}\dot{a}^2+1-\frac{1}{2}\dot{b}^2)\)


en dan zou het moeten uitkomen?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Vallende stokken

Als je
\(\dot{a}\)
vervangt door
\(a^2\)
, en idem voor b, is dat OK.

Berichten: 49

Re: Vallende stokken

Kan iemand mij uitleggen hoe je die kleine hoek benadering precies doet?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Vallende stokken

Je moet de Taylor expansie van de sinus en de cosinus functie gebruiken. Misschien bedoel je iets specifieker?

Berichten: 49

Re: Vallende stokken

Ik heb sowieso geen sinus staan in mijn potentiele en kinetische energie, maar ik bedoel inderdaad iets specifieker.

voor mijn gevoel wordt T maar eerste orde benaderd en V wel tweede orde?

Alvast bedankt.

Berichten: 49

Re: Vallende stokken

die kleine hoebenadering is wel gelukt.

Maar kan iemand mij uitleggen hoe ik uit de bewegingsvergelijkingen de hoeversnellingen kan halen?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Vallende stokken

Je hebt twee gekoppelde tweede orde bronloze differentiaalvergelijkingen. Ken je een ansatz voor dergelijke vergelijking? Wat zou je als anzats nemen voor 1 zo'n differentiaalvergelijking?

Reageer