\(I = \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\mbox{d}x\)
Door substitutie \(x = \cos(2t)\)
verkrijgen we het volgende:\(I = -2 \int \sqrt{\frac{1-\cos(2t)}{1+\cos(2t)}}\sin(2t)\mbox{d}t = -2 \int \sqrt{\frac{2\sin^2(t)}{2\cos^2(t)}}\sin(2t)\mbox{d}t = \pm4 \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)}\sin(t)\cos(t)\mbox{d}t = \pm4 \int \sin^2(t)\mbox{d}t\)
Die laatste is een basisintegraal en geeft, rekening houdend met de factor voorop, de volgende oplossing:\(I = \pm2(t - \sin(t)\cos(t)) + C\)
Wanneer we terugkeren naar de veranderlijke x, weten we dat \(x = \cos(2t) \Leftrightarrow 2t = \arccos(x) \Leftrightarrow t = \frac12\arccos(x)\)
en dat \(\sin(t)\cos(t) = \frac12\sin(2t) = \frac12\sin(\arccos(x)) = \frac12\sqrt{1-x^2}\)
Invullen levert het volgende:\(I = \pm2\left(\frac12\arccos(x) - \frac12\sqrt{1-x^2} \right) + C = \pm\sqrt{1 - x^2} \mp \arccos(x) + C\)
Tot zover geen probleem, ware het niet dat de modeloplossing \(\arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C\)
geeft. Waar zit de fout?
