Springen naar inhoud

Commuteren met heliciteitsoperator


  • Log in om te kunnen reageren

#1

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 maart 2009 - 10:23

Hoi,

in korte notatie is de Diracvergelijking LaTeX
met het scalair product tussen de LaTeX matrices en de ruimtelijke 3d-impuls vector.
LaTeX
Verder wordt de heliciteitsoperator gedefinieerd als de projectie van van de spin op de impuls, met als matrixvoorstelling (kleine sigma zijn de pauli matrices)
LaTeX
Mijn vraag is om een volgende commutator uit te rekenen, die er niet moeilijk uitziet hoewel ik er niet uit geraak.

LaTeX

Het stuk van de commutator met beta valt volgens mij al weg, omdat beta enkel reeele getallen bezit (1tjes en -1tjes op de diagonaal)
Maar hoe moet het dan?
Ik heb problemen met het matrix karakter van zo'n commutator, hoe moet ik die dan interpreteren?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 maart 2009 - 15:00

Je moet dit werkelijk zien als een commutator tussen 2 matrixoperatoren. Met andere woorden, je zoekt:
LaTeX .
Kortom, het gaat gewoon om de commutator tussen de 2 matrices, en je bekomt (voor alle j) een matrix met indices m en l. Je merkte zelf reeds op dat LaTeX -termen zullen wegvallen.

Ik heb even nagerekend of het resultaat klopt, en dat doet het. Voorlopig laat ik het plezier om dat na te gaan met bovenstaande hulp nog aan jezelf; als het niet lukt hoor ik het wel.

#3

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 maart 2009 - 19:33

Ik heb het nu ook gevonden, maar wel door alle matrices expliciet uit te schrijven wat toch een kleine inspanning vraagt met al die matrixvermenigvuldigingen.
In volle glorie komt er eerst (met weglating van LaTeX -matrix omdat die enkel reeele getallen bevat)
LaTeX
De LaTeX blijken allemaal weg te vallen, de rest ('kruistermen') is verantwoordelijk voor het vectorieel produkt wat bewezen moest worden.

Nog een vraagje: is er een manier waarop je dit soort uitwerkingen kan "zien". Zoals gezegd, het vergt toch een serieuze inspanning om al die matrices te vermenigvuldigen...

#4

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 maart 2009 - 21:46

In het begin zijn dergelijke berekeningen inderdaad niet zo gemakkelijk, eens je er wat vertrouwd mee bent gaat het vrij vlot. Je kan het als volgt doen (met Einsteins sommatieconventie, dat spreekt, en het maakt niet uit of we indices bovenaan of onderaan schrijven, de metriek is LaTeX ).
Men ziet onmiddellijk dat
LaTeX ,
dus
LaTeX
Dus is
LaTeX

Er is trouwens 1 relatie die je ergens boven je bed mag hangen ofzo (ik werk tegenwoordig met een schrift waarin dingen komen die ik niet uit het oog mag verliezen, hij staat er in).
LaTeX , met e de eenheidsmatrix
De commutatorbetrekking volgt daar onmiddellijk uit, en ook de betrekking voor het spoor van dergelijk product is nuttig.

#5

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2009 - 09:00

Heb je nu niet de plaats van de pauli matrices in de LaTeX -matrix verandert tov mijn eerste post?
Bij de LaTeX -matrices weet ik dat dat mag (hangt af van de representatie, zolang ze maar aan bepaalde voorwaarden voldoen: a^2=1, etc.)
De reden dat het voor de LaTeX -matrix dan ook mag is omdat die enkel LaTeX -matrices bevat?

#6

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 maart 2009 - 09:13

Als je het product uitrekent van de matrices in de voorstelling zoals jij ze schrijft, bekom je gewoon wat ik schrijf.

#7

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2009 - 14:20

Klopt inderdaad.
Nog een ander (analoog) vraagje waarvan ik de uitkomst wel heb gevonden, maar met een aanname.

LaTeX
Met L de draaiimpulsoperator. Commutator met beta valt weer weg.
Dus beschouw
LaTeX
Als ik dit verder uitwerk krijg ik dat LaTeX wat correct is vermits ik de uitkomst voor handen heb.
Maar klopt het dat ik in de voorlaatste regel de commutator van alfa met L mag laten vallen (=0).
Mijn redenering was dat beiden in een verschillende ruimte werken en dus sowieso commuteren.

#8

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 maart 2009 - 13:48

Wat je zegt is dat de representatie in feite een direct product is van de gekende hilbertruimte en LaTeX , en dat de operatoren slechts op 1 van beide delen inwerken, en dus moeten commuteren. Dat is juist, maar natuurlijk is dat vrij abstract geformuleerd (als je de operator uitschrijft, dan is die uitspraak heel wat duidelijker dan wanneer je ze abstract formuleert).

#9

M.B.

    M.B.


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2009 - 15:32

Bedankt.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures