Moderators: dirkwb , Xilvo
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de
Huiswerkbijsluiter
Berichten: 7.556
Zij
\(n\geq 2\)
een geheel getal. Toon aan dat
\(2^{2^{n+1}}+2^{2^n}+1\)
een product is van drie gehele positieve getallen groter dan 1.
[bedoeling van topic: ik ken de oplossing, zie het als een 'raadsel'. Als je een bewijs weet, zet het a.u.b. even tussen [hide ]-tags zodat liefhebbers nog zelf kunnen proberen] Never express yourself more clearly than you think.
Berichten: 4.246
We hebben toch het raadsel-topic en de wiskundige uitdagingen topic? Waarom niet daarheen verplaatsen Phys?
Quitters never win and winners never quit.
Berichten: 7.556
Het zou op zich wel in het raadseltopic kunnen. Aan de andere kant denk ik bij een raadsel meer aan een verhaaltje met een open vraag, niet "toon aan dat...".
Never express yourself more clearly than you think.
Verborgen inhoud Verborgen inhoud
\(n=m+2\)
met \(m\ge 0\)
,\(q = 2^{2^n}\)
.\(Q = q^2+q+1 = \frac{q^3-1}{q-1}\)
drie echte delers heeft.\(2 \equiv -1 \mod 3\)
Dan is \(Q \equiv (-1)^{\mbox{even}} + (-1)^{\mbox{even}} + 1 \equiv 0 \mod 3\)
3 deelt dus \(Q\)
.\(q^3-1 = 2^{12\cdot 2^m}-1 \equiv 0 \mod r\)
met \(r=7,13\)
,\(2^6 \equiv 1 \mod 7\)
en \(2^{12} \equiv 1 \mod 13\)
en \(2^2 \not\equiv 1 \mod 7\)
en \(2^4 \not \equiv 1 \mod 13\)
,\(q\not \equiv 1 \mod 7,13\)
.\(Q\)
Strikt genomen hadden we aan 3 en 7 voldoende.
Berichten: 7.556
Een constructief (en eenvoudig) bewijs:
Verborgen inhoud Merk op dat \(2^{2^{n+1}}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^4\)
en \(2^{2^{n}}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^2\)
.\(a^4+a^2+1=(a^2-a+1)(a^2+a+1)\)
levert:\(2^{2^{n+1}}+ 2^{2^{n}}+1=\left(2^{2^{n-1}}\right)^4+\left(2^{2^{n-1}}\right)^2+1\)
\(=\left(\left(2^{2^{n-1}}\right)^2-\left(2^{2^{n-1}}\right)+1\right)\left(\left(2^{2^{n-1}}\right)^2+\left(2^{2^{n-1}}\right)+1\right)\)
\(=\left(2^{2^n}-2^{2^{n-1}}+1\right)\left(\left(2^{2^{n-2}}\right)^4+\left(2^{2^{n-2}}\right)^2+1\right)\)
\(=\left(2^{2^n}-2^{2^{n-1}}+1\right)\left(2^{2^{n-1}}-2^{2^{n-2}+1\right)\left(2^{2^{n-1}}+2^{2^{n-2}}+1\right)\)
Voor \(n\geq 2\)
staat hier een product van drie gehele getallen >1.
@PP: Vanwaar de
? Mijn factoren voor het geval
n=2 komen overeen met die van jou: 13, 7, 3. Klopt jouw bewijs ook voor n>2?
Never express yourself more clearly than you think.
Ja, mijn bewijs geldt voor alle
\(n\ge 2\)
Die
gold voor een ieder die de verleiding niet kan weerstaan om op de verborgen inhoud te klikken.
Nogmaals:
Verborgen inhoud Zeg \(n=m+2\)
met \(m\ge 0\)
,\(q = 2^{2^n}\)
.\(Q = q^2+q+1 = \frac{q^3-1}{q-1}\)
drie echte delers heeft.\(2 \equiv -1 \mod 3\)
Dan is \(Q \equiv (-1)^{\mbox{even}} + (-1)^{\mbox{even}} + 1 \equiv 0 \mod 3\)
3 deelt dus \(Q\)
.\(q^3-1 = 2^{12\cdot 2^m}-1 \equiv 0 \mod r\)
met \(r=7,13\)
,\(2^6 \equiv 1 \mod 7\)
en \(2^{12} \equiv 1 \mod 13\)
en \(2^2 \not\equiv 1 \mod 7\)
en \(2^4 \not \equiv 1 \mod 13\)
,\(q\not \equiv 1 \mod 7,13\)
.\(Q\)
Strikt genomen hadden we aan 3 en 7 voldoende.
