Springen naar inhoud

[wiskunde] bewijs afgeleide exponentiŽle functie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nico135

    Nico135


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 april 2009 - 16:07

Hallo,

Aangezien wij op school bezig zijn met afgeleiden, wilde ik weten wat de afgeleide is van een exponentiŽle functie. Ik kwam hier achter: F(x)=ax F'(x)=ax * Ln(a)
Nou vroeg ik me af waarom dat zou was, dus ging ik zoeken. Op wikipedia kwam ik het bewijs ervoor tegen:
Geplaatste afbeelding
Bron:http://nl.wikibooks....tiatie#Bewijs_3

Dit begrijp ik helemaal tot de laatste stap. Waarom kan je zeggen dat (aΔx-1)/Δx gelijk is aan ln(a)

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2009 - 19:49

Voor a = e geldt: LaTeX . Omdat ax=exln a geldt: LaTeX , dus ax heeft axln a als afgeleide. Door uit te gaan van ax=exln a en de kettingregel toe te passen vind je meteen dat axln a de afgeleide is van ax, waarmee je op grond van de definitie van de afgeleide rechtstreeks kunt concluderen dat LaTeX .

Veranderd door mathreak, 05 april 2009 - 19:51

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2009 - 20:01

Even wat meer ingaan op het laatste stuk van mathfreak:
Op de middelbare school worden de functies ax, exp(x) en log(x) niet erg precies gedefinieerd, waardoor bewijzen over deze functies vaak neigen naar cirkelredeneringen.

In een rigoreuze opbouw van de analyse worden doorgaans eerst exp en log gedefinieerd (bijv. de log als integraal, en exp als inverse van log). Uit deze definities volgt dan dat LaTeX en LaTeX .
Vervolgens wordt de exponentiŽle functie (met willekeurig grondtal) gedefinieerd als LaTeX , waaruit met de kettingregel direct volgt voor de afgeleide LaTeX
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#4

Revelation

    Revelation


  • >1k berichten
  • 2364 berichten
  • Technicus

Geplaatst op 06 april 2009 - 12:58

Om verwarring te voorkomen: in Phys' stukje wordt met log de ln (natuurlijk logaritme) bedoeld, en niet de 10-log.
ďQuotation is a serviceable substitute for wit.Ē - Oscar Wilde

#5

Nico135

    Nico135


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 april 2009 - 13:22

Okť. Bedankt voor de antwoorden!

@Mathfreak
Is het zo dat je van
LaTeX het volgendeLaTeX mag maken, omdat het Δx * ln(a) is, dus als Δx naar nul nadert, het product van dat getal met iets anders dat ook moet doen? Waarom zou je dat dan omschrijven? Dan kan je toch net zo goed het eerste laten staan?

Verder: Waarom is het zo dat LaTeX ?

Ik merk dat het zo is, maar hoe weet je dat?

Veranderd door Nico135, 06 april 2009 - 13:23


#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2009 - 13:39

Verder: Waarom is het zo dat LaTeX

?

Ik merk dat het zo is, maar hoe weet je dat?

Bijvoorbeeld: volgens de definitie van afgeleide, geldt voor LaTeX :
LaTeX
En we weten dat LaTeX , dus LaTeX .

Het kan ook met l'Hopital, of met een reeksontwikkeling van e^x (welke methode je voorkeur heeft hangt af van je definitie van e^x, en wat we allemaal bekend mogen veronderstellen, zoals de afgeleide ervan.)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#7

Revelation

    Revelation


  • >1k berichten
  • 2364 berichten
  • Technicus

Geplaatst op 06 april 2009 - 13:43

Ik merk dat het zo is, maar hoe weet je dat?

l'Hopital ;)

Dat is een stelling die zegt dat als je bij een limietsituatie iets als 0/0 krijgt, je boven en onder de deelstreep mag differentieren.

Dus:
LaTeX


(excuses voor ontbreken van accenten, mijn toetsenbordlayout is fout)
ďQuotation is a serviceable substitute for wit.Ē - Oscar Wilde

#8

Nico135

    Nico135


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 april 2009 - 13:58

Bijvoorbeeld: volgens de definitie van afgeleide, geldt voor LaTeX

:
LaTeX
En we weten dat LaTeX , dus LaTeX .


LaTeX
En dit is een gegeven? Dit was ik namelijk nog nergens op internet tegen gekomen.

@Revelation Okť, dat begrijp ik. Die stelling kende ik niet.

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2009 - 14:13

LaTeX


En dit is een gegeven? Dit was ik namelijk nog nergens op internet tegen gekomen.

Dit is de definitie van limiet, en heb je vast wel gezien:
LaTeX
Hier staat eigenlijk niets meer dan de helling van de raaklijn aan f in het punt a. Door x steeds dichter bij a te kiezen, benader je met LaTeX die echte raaklijn steeds beter.

@Revelation Okť, dat begrijp ik. Die stelling kende ik niet.

Ik noemde de stelling ook al, zie mijn link voor meer informatie.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#10

Nico135

    Nico135


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 april 2009 - 14:36

Oh, natuurlijk. Dankjewel voor alle uitleg ik begrijp het. Ik zal jouw link eens bekijken, ik las jullie posts gelijk.

Dan zou ik alleen nog graag willen weten of mijn redenatie hier klopt, en zo niet wat de juiste dan wel is.
LaTeX het volgende LaTeX mag maken, omdat het Δx * ln(a) is, dus als Δx naar nul nadert, het product van dat getal met iets anders dat ook moet doen? Waarom zou je dat dan omschrijven? Dan kan je toch net zo goed het eerste laten staan?

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2009 - 14:56

Als Δx naar 0 moet gaan, dan moet c.Δx met c een constante ook naar 0 gaan.
In dit geval is die constante ln(a), dus je mag ook overgaan op de limiet met ln(a).Δx naar 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Nico135

    Nico135


  • >25 berichten
  • 43 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 april 2009 - 15:06

Dan snapte ik dat goed. Ik begrijp het helemaal, dan mag hij dicht. Ik weet niet hoe dat werkt op dit forum? Maar als hij dicht moet als het klaar is, mag hij dicht.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2009 - 15:08

Nee, de topics blijven lekker open ;)

Wie weet wil iemand nog iets nuttig/interessant toevoegen, of komt er nog een vraagje van iemand anders naar aanleiding van de berichten hierboven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2009 - 15:42

Volgens mij rest er nog een onbeantwoorde vraag van je:

Waarom zou je dat dan omschrijven? Dan kan je toch net zo goed het eerste laten staan?

Dat omschrijven doe je, omdat LaTeX en deze limiet kennen we (1, zoals hierboven besproken).

We kunnen op deze manier dus overgaan op een bekende limiet, terwijl het van LaTeX minder (direct) duidelijk is wat de uitkomst is.
[je zou ook meteen hierop l'Hopital kunnen toepassen, met (uiteraard) hetzelfde resultaat]
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#15

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 april 2009 - 15:58

@Nico135: Nog even een nadere uitleg: LaTeX is een zogenaamde standaardlimiet, vandaar dat ik LaTeX naar deze standaardlimiet om ging schrijven door eerst teller en noemer met ln a te vermenigvuldigen, en daarna de eigenschap te gebruiken dat xln a naar 0 gaat als x naar 0 gaat.

Veranderd door mathreak, 06 april 2009 - 16:02

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures