Systeem van differentiaalvergelijkingen (classificatie van 3x3 geval)

proto-guybaa2

Zoals jullie wellicht weten worden eigenwaarden gebruikt om de stabiliteit te bepalen van kritieke punten van eerste orde differentiaalvergelijkingen systemen. Ik weet hoe de methode voor 2x2 systemen werkt. Bijvoorbeeld als de eigenwaarden van de matrix A van tegengesteld teken zijn dan is het kritieke punt een zadelpunt. En dit is asymptotisch onstabiel. Mijn probleem zit hem in de classificatie van 3x3 systemen. Bijvoorbeeld wat is de classificatie als ik 2 positieve eigenwaarden heb en 1 negatieve eigenwaarde? Is dit ook een zadelpunt, stabiel, onstabiel? Ik heb dus in het kort gezegd een overzicht nodig van de classificatie van het type en stabiliteit voor 3x3 systemen. Ik kan dit nergens vinden voor 3x3 sytemen, maar voor 2x2 sytemen een miljoen hits bij wijze van spreken... Alle hulp is welkom!

Heezen

volges mij minstens 1 neg. eigewaarde=> onstabiel evenwicht.

Werd laatst op et college voor et algemene geval bewezen..

Phys

Een specifieke classificatie van stelsels in

\(\rr^3\)

heb ik volgens mij niet gezien. Meestal behandelt men het geval

\(\rr^2\)

(dus 2x2-matrices) compleet, en gaat men vervolgens naar het 'algemene' geval (waarover dus alleen algemene, globale uitspraken worden gedaan).

Het is me overigens nog niet duidelijk of je het over lineaire of niet-lineaire systemen hebt?

Wat betreft lineaire:

Er is een stelling die zegt dat

\(\dot{x}=Ax\)

globaal asymptotisch stabiel is dan en slechts dan als

\(\mbox{Re}(\lambda_j)\leq 0\)

en

\(a_j=g_j\)

indien

\(\mbox{Re}(\lambda_j)=0\)

[

\(\lambda_j\)

is de j-de eigenwaarde, en

\(a_j,g_j\)

zijn algebraïsche, geometrische multipliciteit, respectievelijk, van

\(\lambda_j\)

.]

dirkwb

volges mij minstens 1 neg. eigewaarde=> onstabiel evenwicht.

Complete onzin.

Phys schreef:Wat betreft lineaire:

Er is een stelling die zegt dat
\(\dot{x}=Ax\)
globaal asymptotisch stabiel is dan en slechts dan als
\(\mbox{Re}(\lambda_j)\leq 0\)
en
\(a_j=g_j\)
indien
\(\mbox{Re}(\lambda_j)=0\)

Er is geen sprake van asymptotische stabiliteit als de eigenwaardes nul zijn...

Phys

Dank voor de oplettendheid. Correctie (notatie als boven):

1) Het stelsel

\(\dot{x}=Ax\)

is globaal stabiel is dan en slechts dan als

\(\mbox{Re}(\lambda_j)\leq 0\)

en

\(a_j=g_j\)

indien

\(\mbox{Re}(\lambda_j)=0\)

2) Het stelsel

\(\dot{x}=Ax\)

is globaal asymptotisch stabiel dan en slechts dan als

\(\mbox{Re}(\lambda_j)< 0\)

voor alle j.

proto-guybaa2

Phys schreef:Dank voor de oplettendheid. Correctie (notatie als boven):

1) Het stelsel
\(\dot{x}=Ax\)
is globaal stabiel is dan en slechts dan als
\(\mbox{Re}(\lambda_j)\leq 0\)
en
\(a_j=g_j\)
indien
\(\mbox{Re}(\lambda_j)=0\)
2) Het stelsel
\(\dot{x}=Ax\)
is globaal asymptotisch stabiel dan en slechts dan als
\(\mbox{Re}(\lambda_j)< 0\)
voor alle j.

Harstikke bedankt voor je hulp! Hier was ik naar op zoek. Was het nog lastig om te vinden?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Systeem van differentiaalvergelijkingen (classificatie van 3x3 geval)

Systeem van differentiaalvergelijkingen (classificatie van 3x3 geval)

Re: Systeem van differentiaalvergelijkingen (classificatie van 3x3 geval)

Re: Systeem van differentiaalvergelijkingen (classificatie van 3x3 geval)

Re: Systeem van differentiaalvergelijkingen (classificatie van 3x3 geval)

Re: Systeem van differentiaalvergelijkingen (classificatie van 3x3 geval)

Re: Systeem van differentiaalvergelijkingen (classificatie van 3x3 geval)