Springen naar inhoud

[wiskunde] partieel integreren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

casper11

    casper11


  • >100 berichten
  • 188 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 april 2009 - 10:50

Dag allemaal,

ik heb een klein vraagje wat betrefd partieel integreren. Als je bijvoorbeeld 4x sin2x hebt hoef je slechts een keer partieel te integreren. Maar wanneer je 4x^2 sin2x hebt moet je twee keer partieel integreren.

Hoe weet je wanneer je het een keer moet doen en wanneer twee keer?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 april 2009 - 11:03

Verplaatst naar huiswerk.

Bij dit type functies (een veelterm vermenigvuldigd met een goniometrische, of exponentiŽle functie) zal je n keer partiŽle integratie moeten toepassen waarbij n de graad van de veelterm is. Die 4x is van graad 1, dus 1 partiŽle integratie volstaat. Stond er (2x≥-2x+1).sin(3x), dan moet je 3 partiŽle integraties doen want de graad van 2x≥-2x+1 is 3.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

casper11

    casper11


  • >100 berichten
  • 188 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 april 2009 - 10:50

maar als je bijvoorbeeld (x^2)lnx hebt dat moet je ook maar een keer partieel integreren. en 4x^2 sinx en (e^x)sin2x moet je twee keer doen.
ik zie eerlijk gezegd geen verschil. De eerste is blijkbaar eerstegraads.

Eigenlijk is mijn vraag dus nu wanneer is iets eerstegraads en wanneer is het tweedegraads?

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 april 2009 - 12:08

maar als je bijvoorbeeld (x^2)lnx hebt dat moet je ook maar een keer partieel integreren. en 4x^2 sinx en (e^x)sin2x moet je twee keer doen.
ik zie eerlijk gezegd geen verschil.

Klopt, maar ln(x) is dan ook geen goniometrische of exponentiŽle functie

Bij dit type functies (een veelterm vermenigvuldigd met een goniometrische, of exponentiŽle functie)

Het komt doordat je de veelterm gaat differentiŽren en de andere functie gaat integreren. Door te differentiŽren verlaag je de graad van de veelterm met 1, en de exponentiŽle/goniometrische functie blijft min of meer gelijk (d.w.z. sin wordt cos, nogmaals integeren wordt sin, etc. op tekens na. exp(x) wordt na integeren exp(x)). Door dit n keer te doen, heb je de graad van de veelterm met n verlaagd, waardoor je nog slechts de constante term overhoudt. De tweede functie is dan nauwelijks, waardoor je simpelweg een constant maal de tweede functie moet integeren, en dat is makkelijk.

Dit gaat niet op voor ln(x), omdat dit 1/x oplevert na integreren en dat is niet 'min of meer hetzelfde als ln(x)'.
Ik verwoord het een beetje onzorgvuldig, maar hopelijk begrijp je het een beetje.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2456 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 april 2009 - 12:22

Dat je bij x≤ln x maar 1 maal partieel integreren hoeft toe te passen zit hem in het feit dat de afgeleide van ln x gelijk is aan LaTeX . Bij 4x≤sin x is het het makkelijkste om eerst sin x als afgeleide van een functie op te vatten en dan partieel integreren toe te passen. Je krijgt dan een integraal die naast een eerstegraadsuitdrukking (8x) nog een factor cos x bevat. Vervolgens vat je cos x als afgeleide van een functie op om 8xcos x partieel te integreren. Je krijgt dan een integraal die alleen een uitdrukking met sin x bevat, en die dus rechtstreeks te integreren is. Bij exsin 2x is het het makkelijkste om ex als afgeleide van een functie op te vatten en dan partieel integreren toe te passen. Je krijgt dan een integraal die naast ex nog een factor 2cos 2x bevat. Vervolgens vat je opnieuw ex als afgeleide van een functie op om 2excos 2x partieel te integreren. Je krijgt dan een uitdrukking waarin je integraal die je zoekt opnieuw opduikt. Noem de gezochte integraal u, dan blijkt dat u = exsin 2x-2excos 2x+4u, dus hieruit kun je de gezochte waarde voor u afleiden.

Veranderd door mathreak, 11 april 2009 - 12:23

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures