Springen naar inhoud

Transitieve logica


  • Log in om te kunnen reageren

#1

theoriegeladen

    theoriegeladen


  • >250 berichten
  • 976 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 april 2009 - 18:45

Ik vraag me af of uit de samengestelde propositie: "als A, dan B" een C is af te leiden zonder deze direct zelf te poneren.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2458 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 april 2009 - 11:57

Stel A⇒B = D, dan geldt volgens het principe ex falso sequitur quodibelet dat D⇒(D⇒C). Het is dus mogelijk om, als A⇒B niet waar is, een willekeurige propositie C te poneren zodat (A⇒B)⇒C.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#3

ypsilon

    ypsilon


  • >5k berichten
  • 11085 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 april 2009 - 18:58

ex falso sequitur quodibelet

Ex falso quodlibet =D>

Stel A⇒B = D, dan geldt volgens het principe ex falso sequitur quodibelet dat D⇒(D⇒C). Het is dus mogelijk om, als A⇒B niet waar is, een willekeurige propositie C te poneren zodat (A⇒B)⇒C.

Je uitleg verwart me nogal. Het Ex falso stelt dat als D n D waar zijn elke C afgeleid kan worden, of dus D⇒(D⇒C). Op zich betekent D niet dat elke C geponeerd kan worden. Dat is alleen als A⇒B tegelijk waar en onwaar is.

Als A⇒B waar is en het tegendeel onwaar, kun je daar niet zomaar een C aan toevoegen.

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 april 2009 - 19:55

Ex falso quodlibet =D>

Hoezo?
Volgens de Engelse Wiki kan het beide

The principle of explosion is also known as ex falso quodlibet, ex falso sequitur quodlibet (EFSQ for short), ex contradictione (sequitur) quodlibet (ECQ for short), and ex falso/contradictione (sequitur) (Latin: "from falsehood/contradiction (follows) anything", literally "... what pleases").

Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2458 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 april 2009 - 20:02

Ex falso quodlibet =D>

Dat was inderdaad de juiste uitdrukking.

Je uitleg verwart me nogal. Het Ex falso stelt dat als D n D waar zijn elke C afgeleid kan worden, of dus D⇒(D⇒C). Op zich betekent D niet dat elke C geponeerd kan worden. Dat is alleen als A⇒B tegelijk waar en onwaar is.

Als A⇒B waar is en het tegendeel onwaar, kun je daar niet zomaar een C aan toevoegen.

Veronderstel dat A waar is en B onwaar, dan is A⇒B, dus D onwaar. In dat geval volgt uit D iedere willekeurige C. Ik had er inderdaad bij moeten vermelden dat je daar van uitging.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#6

ypsilon

    ypsilon


  • >5k berichten
  • 11085 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2009 - 18:01

Bericht bekijken

Veronderstel dat A waar is en B onwaar, dan is A⇒B, dus D onwaar. In dat geval volgt uit D iedere willekeurige C. Ik had er inderdaad bij moeten vermelden dat je daar van uitging.

Maar opnieuw: op zich volgt er geen willekeurige C uit de onwaarheid van D. Daarvoor moet D tegelijk ook waar zijn.

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2009 - 18:47

't Ging me niet om de "sequitur" ;)

Ah, nu zie ik het pas =D>
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2458 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2009 - 19:57

Maar opnieuw: op zich volgt er geen willekeurige C uit de onwaarheid van D. Daarvoor moet D tegelijk ook waar zijn.

Dat is in strijd met de wet van de uitgesloten derde, die stelt dat een bewering slechts waar of niet waar kan zijn, maar niet beide. Volgens mijn woordenboek Filosofie is A⇒(A⇒B) een welgevormde uitdrukking die geldig is in de klassieke logica, met de toevoeging "als A onwaar is, dan volgt uit A iedere willekeurige B". Dit betekent dus dat A waar moet zijn.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#9

ypsilon

    ypsilon


  • >5k berichten
  • 11085 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 april 2009 - 20:07

Ik zag net toen ik het postte dat ik zelf slordig was, maar er liep iets fout en ik kon niet meer wijzigen. Je had natuurlijk gelijk met de formulering in je laatste bericht: Als D onwaar is, volgt uit D eender welke C (i.e. volgt uit het voor waar aannemen van D dat eender welke C ook voor waar aangenomen moet worden).

#10

theoriegeladen

    theoriegeladen


  • >250 berichten
  • 976 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2009 - 21:07

Ik heb even gezocht op wiki. Als ik het goed begrijp is het de bedoeling dat er een axioma moet worden toegevoegd waarmee als D onwaar is C volgt. En D is onwaar als A of B onwaar zijn.

#11

ypsilon

    ypsilon


  • >5k berichten
  • 11085 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 01:05

Als ik het goed begrijp is het de bedoeling dat er een axioma moet worden toegevoegd waarmee als D onwaar is C volgt.


Het is geen axioma, het ex falso kan bewezen worden, en is ook intutief begrijpbaar. Als je een onwaarheid voor waar aanneemt, kun je bewijzen wat je wil. Dat wordt (voor D gegeven) uitgedrukt door:

D⇒(D⇒C)

Het enige wat hier gebeurd is, is het toepassen van dit principe nadat we A⇒B gelijkgesteld hebben aan D.
Als we dan dit krijgen:

A
B

Dan volgt daaruit dat A⇒B onwaar is (want als A, dan altijd B) en dus is D onwaar (en dan gewoon het ex falso toepassen).

En D is onwaar als A of B onwaar zijn.

Let op! Als (A⇒B) = D dan is D niet noodzakelijk onwaar als A en B.

#12

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2458 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 14:39

Ik heb even gezocht op wiki. Als ik het goed begrijp is het de bedoeling dat er een axioma moet worden toegevoegd waarmee als D onwaar is C volgt. En D is onwaar als A of B onwaar zijn.

De implicatie A⇒B, die ik gemakshalve D heb genoemd, is alleen onwaar als A waar is en B onwaar. In alle andere gevallen is A⇒B dus altijd waar, zelfs als A en B beide onwaar zijn. Jouw vraag was of je uit A⇒B een C kon afleiden zonder deze zelf te poneren. Het antwoord luidt: ja, mits A⇒B onwaar is, dus mits A waar en B onwaar is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#13

theoriegeladen

    theoriegeladen


  • >250 berichten
  • 976 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 22:01

Het is geen axioma, het ex falso kan bewezen worden, en is ook intutief begrijpbaar. Als je een onwaarheid voor waar aanneemt, kun je bewijzen wat je wil. Dat wordt (voor D gegeven) uitgedrukt door:


Ok. Was er al bang voor dat dit niet het goede woord was voor wat ik bedoel. Maar hoe heet een dergelijke propositie dan en hoe pas je die toe? Wat bepaalt wanneer wij deze regel mogen toepassen of mogen wij dat naar believen zelf bepalen?

De regel is in kwestie is dus: D-->D-->C

Let op! Als (A⇒B) = D dan is D niet noodzakelijk onwaar als A en B.


Omdat er meer atomen zijn die mbv B D kunnen impliceren?


De implicatie A⇒B, die ik gemakshalve D heb genoemd, is alleen onwaar als A waar is en B onwaar.


Dus als B waar is, is D altijd waar? Als A dan is de redenering toch ook onwaar?

Veranderd door theoriegeladen, 16 april 2009 - 22:03


#14

ypsilon

    ypsilon


  • >5k berichten
  • 11085 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 23:53

Ok. Was er al bang voor dat dit niet het goede woord was voor wat ik bedoel. Maar hoe heet een dergelijke propositie dan en hoe pas je die toe? Wat bepaalt wanneer wij deze regel mogen toepassen of mogen wij dat naar believen zelf bepalen?

Je kan dit altijd toepassen (of het zin heeft is een andere vraag). Een heel eenvoudig voorbeeld is: Ik kan niet vliegen (dit is D). Als we nu even aannemen dat ik wl kan vliegen (D), dan kunnen we ook aannemen dat ik vuur kan spuwen ( C ).

De regel is in kwestie is dus: D-->D-->C

Let op met de notatie. Hier lijkt te staan "Als D dan D, als D dan C".
Terwijl de regel stelt "Als D, dan volgt (elke willekeurige) C uit D".

Omdat er meer atomen zijn die mbv B D kunnen impliceren?

Dit snap ik niet... Waar tover je die atomen plots vandaan?

Dus als B waar is, is D altijd waar? Als A dan is de redenering toch ook onwaar?

Dit is gewoon een toepassing van een paar logische basisregels. Wat we gedaan hebben is (A⇒B) herschreven als D. Dat komt op hetzelfde neer als (2x3) vervangen door 6. Als (A⇒B) vals is, is D dat ook. En (A⇒B) is alleen vals als A optreedt en B niet.

Vervang gewoon door een zin met inhoud i.p.v. de symbolen, dan wordt het vast duidelijker:
"Als je mijn hoofd afkapt (A), ben ik dood (B)."

Dit is een regel die geen uitzonderingen toelaat. Ik kan echter wl dood gaan (B) zonder dat je mijn hoofd afkapt (A). Als dat geobserveerd wordt, wordt de regel daardoor nog niet weerlegd.

Ik kan niet blijven leven (B) als als je mijn hoofd afkapt (A). Als je dat toch zou observeren, dan klopt de redenering niet.

Wordt het al helder?

Verborgen inhoud
Ik ging eerst het voorbeeld plaatsen "Als het regent, ben ik nat", maar dan beginnen mensen er paraplu's en bushokjes bij te sleuren en dan moet je nog beginnen uitleggen dat die zich niet logisch laten uitdrukken etc.


@mathreak: Als je me nog op fouten/slordigheden zou betrappen, geef een gil. Ik ben niet super onderlegd in logica, dus het wil nogal eens voorkomen.

#15

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 april 2009 - 01:23

Verborgen inhoud
Ik ging eerst het voorbeeld plaatsen "Als het regent, ben ik nat", maar dan beginnen mensen er paraplu's en bushokjes bij te sleuren en dan moet je nog beginnen uitleggen dat die zich niet logisch laten uitdrukken etc.

Verborgen inhoud
Alternatief: 'als ik in de zee spring, word ik nat'.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures