Springen naar inhoud

Koorden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

theoriegeladen

    theoriegeladen


  • >250 berichten
  • 976 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 april 2009 - 21:51

Ik las dit artikel: http://nl.wikipedia.org/wiki/Koorde

en ik begrijp dit niet:

1 Twee koorden van eenzelfde cirkel hebben dezelfde afstand tot het middelpunt dan en slechts dan als de koorden
gelijke lengte hebben.

De koorde verbindt twee punten op een circel. Ik neem aan dat daarmee de omtrek wordt bedoelt, maar dan klopt niet dat de lengte van de koorde de afstand tot het middelpunt bepaalt. Hoe zit dat precies?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2463 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 april 2009 - 12:06

Kijk maar eens wat er gebeurt als je de 2 eindpunten van zo'n koorde met het middelpunt van de cirkel verbindt. Je krijgt dan een gelijkbenige driehoek met de koorde als basis en 2 benen met de lengte van de straal van de cirkel. Laat nu vanuit het middelpunt een loodlijn op de koorde neer. Dit stelt de hoogtelijn uit de tophoek (het middelpunt van de cirkel) voor. Stel de koorde heeft lengte p en de straal van de cirkel heeft lengte r, dan is de hoogte van de driehoek de afstand van het middelpunt van de cirkel tot de koorde. Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dat deze afstand gelijk is aan LaTeX . Veronderstel dat een andere koorde in de cirkel de lengte q heeft, dan kunnen we op grond van het voorgaande afleiden dat de afstand van deze koorde tot het middelpunt van de cirkel gelijk is aan LaTeX . Als beide koorden even lang zijn zal dus de afstand van beide koorden tot het middelpunt voor iedere koorde gelijk zijn. Omgekeerd geldt nu: als de afstand van beide koorden tot het middelpunt voor iedere koorde gelijk is zullen beide koorden even lang zijn, waarmee het gestelde bewezen is.

Veranderd door mathreak, 13 april 2009 - 12:08

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 13 april 2009 - 12:37

Ik las dit artikel: http://nl.wikipedia.org/wiki/Koorde

en ik begrijp dit niet:

1 Twee koorden van eenzelfde cirkel hebben dezelfde afstand tot het middelpunt dan en slechts dan als de koorden
gelijke lengte hebben.

De koorde verbindt twee punten op een circel. Ik neem aan dat daarmee de omtrek wordt bedoelt, maar dan klopt niet dat de lengte van de koorde de afstand tot het middelpunt bepaalt. Hoe zit dat precies?

De koorde is het lijnstuk wat twee ptn op de cirkel verbindt. De lengte van de koorde is dus de lengte van dat lijnstuk.
Het bewijs van de genoemde st kan dus ook met congruentie gegeven worden.

#4

theoriegeladen

    theoriegeladen


  • >250 berichten
  • 976 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 april 2009 - 09:27

OK bedankt. Ik begreep niet de koorde de kortste afstand was tussen de twee punten, omdat ik dacht dat de koorde gelijk liep met de circel.

Als ik het goed begrijp is de straal de lange zijde van de rechthoekige driehoek?

Waarom staat er eigenlijk breuken in de berekening? kwart, halve e.d.?

#5

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2463 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 april 2009 - 18:08

Even een nadere toelichting: in een gelijkbenige driehoek deelt de hoogtelijn uit de top de basis van de driehoek middendoor. Ga uit van de koorde AB met lengte p, dan stellen de lijnstukken AM en BM de benen van een gelijkbenige driehoek ABM voor met AB als basis en M als top. Stel de hoogtelijn uit M snijdt AB in N, dan geldt: LaTeX . Omdat A en B op de cirkel liggen geldt: AM = BM = r, waarbij r de straal van de cirkel voorstelt. Beschouw nu de driehoek ANM. Dit is een rechthoekige driehoek met rechthoekszijde LaTeX en schuine zijde AM = r. De rechthoekszijde MN stelt nu de afstand van de koorde tot M voor. Om deze afstand te vinden passen we de stelling van Pythagoras toe. Dit geeft: AM˛ = AN˛+MN˛, dus LaTeX , dus LaTeX .

Veranderd door mathreak, 14 april 2009 - 18:09

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures