Springen naar inhoud

[wiskunde] dubbele integraal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2009 - 17:11

Ik was bezig met een opgave op te lossen en ik kom iets anders uit dan bij de oplossingen, ben tevens niet helemaal zeker dat men oplossingsmethode juist is

Opgave: Bereken het volume van het ruimtestuk begrensd door de elliptische paraboloide x≤+4y≤ = z, het vlak z = 0 en de cilinders y≤ = x en x≤ = y.

Dus de integraal die ik zou oplossen is:

LaTeX

=LaTeX

= LaTeX

= LaTeX

= LaTeX


Bij de oplossing staat 3/7 , maar ik vind mijn fout niet...


EDIT: er zit een fout in men eerste integratie bij de 2de constante zie ik net
Maar volgens mij is dat niet de enige...

Veranderd door Tommeke14, 15 april 2009 - 17:12


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2009 - 19:32

een andere fout: Men grenzen bij de integraal naar dy staan verkeerd, maar dit zou enkel mogen resulteren in een tekenfout
En elke keer ik deze opgave oplos, kom ik iets anders uit :s

Volgens mij is er een redeneringsfout



p.s. wat is de formule voor volume van een omwentelingslichaam in parametervoorstelling en poolcoordinaten?

#3

Xenion

    Xenion


  • >1k berichten
  • 2606 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 april 2009 - 19:36

De fout zit al in je eerste stap.

4y^2 integreren geeft niet 2y^3 maar 4/3 y^3

Ik heb het ff snel uitgerekend met de computer en kom als eindresultaat -3/7 uit.

#4

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 april 2009 - 19:59

De fout zit al in je eerste stap.

4y^2 integreren geeft niet 2y^3 maar 4/3 y^3

Ik heb het ff snel uitgerekend met de computer en kom als eindresultaat -3/7 uit.

awel ja, die fout had ik gevonden, maar toen ik het uitrekende kwam ik steeds iets anders uit, maar ik zal een telfout hebben gemaakt zeker


en weet iemand die formules uit men 2de post? =D>

Veranderd door Tommeke14, 15 april 2009 - 20:01


#5

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 13:38

de formule voor volume omwentelingslichaam in poolcoordinaten:
Is dat gewoon x = ρ cos θ
en y = ρ sin θ
Invullen in die gewone formule?
maar wat is die dx dan? is dat de jacobiaan ofzo?

LaTeX

of zit ik er nu helemaal naast?
en wat is de formule dan voor parametervergelijkingen?

;)

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 13:55

Ik begrijp je vraag eigenlijk niet goed... Op welke manier is het lichaam nu gegeven? En je hebt het over een omwentelingsvolume, gewenteld om welke as dan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 14:05

Er zijn meerdere opgaven ;)
Bepaal het volume van volgende omwentelingslichamen:
a2) Het omwentelingslichaam dat ontstaat door het gebied begrensd door de x-as en de eerste boog van de cycloide
x = a(t-sin t)
y = a(1-cos t)

te laten wentelen om de symmetrie-as
a3) het omwentelingslichaam dat onstaat door de lus van de kromme
ρ = LaTeX
te laten wentelen om de x-as.

Het enige probleem is dat ik niet weet welke formule ik hiervoor moet gebruiken, of is een dubbele integraal gebruiken de enige mogelijkheid hier?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 15:40

Ik ken geen "rechtstreekse" formules voor parametervoorstellingen of andere coŲrdinaten.
Je kan wel uitgaan van de gekende formules en gepaste substituties gebruiken, bijvoorbeeld:

Bepaal het volume van volgende omwentelingslichamen:
a2) Het omwentelingslichaam dat ontstaat door het gebied begrensd door de x-as en de eerste boog van de cycloide
x = a(t-sin t)
y = a(1-cos t)

De symmetrieas is de as bij x=pi*a. Door in de x-richting over pi*a te verschuiven, heb je een omwenteling rond de y-as en daarvoor heb je een standaardformule (met gegeven x = g(y)):

LaTeX

Nu zijn x en y functie van t en je verschuift x over pi*a naar links, dus je kan schrijven:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 18:27

a3) het omwentelingslichaam dat onstaat door de lus van de kromme
ρ = LaTeX


te laten wentelen om de x-as.

Daarstraks had ik deze niet bekeken, maar een gelijkaardige strategie kan je hier gebruiken.
Nu wentel je om de x-as, dus dit keer (gewoon) de integraal van pi.y≤, overgaan naar theta.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2009 - 13:31

Na invullen van de formule:

LaTeX
= LaTeX
= LaTeX

En deze integraal lijkt me zo goed als onoplosbaar

ik zie niet direct hou ik die t-sint kan wegsubstitueren

Veranderd door Tommeke14, 18 april 2009 - 13:33


#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 april 2009 - 13:33

Na invullen van de formule:

LaTeX

Er hoort nog een factor pi (pi.y≤ integreren voor het volume), verder klopt je integraal wel.

De integraal zelf is niet moeilijk, maar veel werk. Alles in t wat uitwerken levert verschillende termen (zoals sin≥t, sin≤t, t≤.sin(t), t.sin≤t enzovoort) die allemaal apart te integreren zijn (substitutie, partiŽle integratie...). Niet leuk, maar doenbaar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2009 - 13:36

had het net gemerkt van die pi
zijn die grenzen trouwens juist? want ik twijfelde of het van 0 tot pi of 2pi is

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 april 2009 - 13:39

Tot pi klopt want dan gaat de cycloÔde van 0 tot zijn top aan de symmetrieas, dat volledig wentelen geeft het volume.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Tommeke14

    Tommeke14


  • >250 berichten
  • 771 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 mei 2009 - 13:11

andere (soortgelijke) opgave waar ik vastloop:

Bereken het volume van het lichaam begrensd door de sfeer met vergelijking x≤ +y≤+z≤ = a≤ en het cilinderoppervlak met vergelijking x≤+y≤ = ay


Ik moet volgens mij overgaan naar cilinder coordinaten:
x = Rcos t
y = Rsin t

de integraal wordt dan:
LaTeX

maar dit kan niet kloppen want mijn 2 variabelen R en t komen voor in de grenzen van mijn integraal ;)

#15

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 mei 2009 - 13:44

Je mist een dimensie (nu heb je iets in m^2 indien je m zou gebruiken)???? Als je een volume berekent, dan heb je op het eerste gezicht nog een z coŲrdinaat nodig (zelfs in cilinder-coŲrdinaten) en dus een derde integraal...
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures