Springen naar inhoud

Scalair product van twee vectoren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 10:29

Zijn v en w vectoren, met t.o.v. de orthonormale basis (e1,e2,e3) respectieve kentallen (v1,v2,v3) en (w1,w2,w3) dan geldt er:

v.w=v1*w1+v2*w2+v3*w3

Bewijs dit en hou rekening met e1*e1=e2*e2=e3*e3=1 en e1*e3=e2*e3=e1*e2=0.

Ik dacht er eerst aan om dit te doen aan de hand van de norm van de vectoren en de cosinusregel. Maar het gevolg van deze stelling is nťt de norm van een vector i.f.v. de kengetallen. Dus hoe pak je dan zoiets aan?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 10:40

Wat is de (jouw) definitie van het scalair product?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 11:28

Wat is de (jouw) definitie van het scalair product?

Definitie:
(1)is v is of w de nulvector, dan is het scalair product 0
(2)zijn v en w beiden verschillende van de nulvector dan is v*w=||v||*||w||*cos(v,w)

Veranderd door Nikolas, 16 april 2009 - 11:28


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 13:46

En welke definitie voor de norm, aangezien die in functie van de kengetallen blijkbaar later komt...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 15:11

En welke definitie voor de norm, aangezien die in functie van de kengetallen blijkbaar later komt...?


In mijn cursus staat:

De norm van een vector v, genoteerd ||v||, is de afstand tussen twee willekeurige punten P en Q die een representant van v bepalen.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 15:27

Dat lijkt me toch wat vreemd. Op basis van de oorspronkelijke vraagstelling zou ik denken dat je al een soort van distributieve eigenschap moet hebben gezien van dit scalair product om die tip te kunnen gebruiken, en een eigenschap die zegt dat constante factoren naar voor kunnen. Ik denk dat je bij die basisvectoren dan ook niet de vermenigvuldiging * bedoelt (dat kan zelfs niet!), maar precies je scalair product ".".

Zijn v en w vectoren, met t.o.v. de orthonormale basis (e1,e2,e3) respectieve kentallen (v1,v2,v3) en (w1,w2,w3) dan geldt er:

v.w=v1*w1+v2*w2+v3*w3

Bewijs dit en hou rekening met e1*e1=e2*e2=e3*e3=1 en e1*e3=e2*e3=e1*e2=0.


Uitschrijven levert dan:

LaTeX

Dan werk je distributief uit en gebruik je de gekende scalaire producten van de basisvectoren:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 15:42

Bedankt TD, ik snap wat je bedoelt. Ik bedoelde ook het scalair product!
Ik zal het nu eens volledig proberen uit te werken. Mag ik het daarna op het forum plaatsen ter verbetering?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 15:44

Natuurlijk, maar ik denk dat je "op het zicht" al kan voorspellen wat er zal gebeuren (kijk maar eens goed): na volledig uitwerken krijg je 9 termen (want 3 x 3) waarvan er drie kwadraten in de kentallen (bij gelijke basisvectoren, dus met hun scalair product 1) en zes gemengde termen in de kentallen (met ook gemengde basisvectoren, dus met hun scalair product 0) - je houdt precies de som van de kwadraten van de kentallen over. Schrijf het maar eens uit, maar bespaar je het overtypen als het uitkomt ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 15:48

Dat lijkt me toch wat vreemd. Op basis van de oorspronkelijke vraagstelling zou ik denken dat je al een soort van distributieve eigenschap moet hebben gezien van dit scalair product om die tip te kunnen gebruiken, en een eigenschap die zegt dat constante factoren naar voor kunnen. Ik denk dat je bij die basisvectoren dan ook niet de vermenigvuldiging * bedoelt (dat kan zelfs niet!), maar precies je scalair product ".".



Uitschrijven levert dan:

LaTeX



Dan werk je distributief uit en gebruik je de gekende scalaire producten van de basisvectoren:

LaTeX


Maar moet dit: LaTeX

Niet dit zijn:
LaTeX

EDIT: pff, ik snap het blijkbaar toch niet. Waar haal je vandaan dat:
LaTeX

Dat is toch juist wat ik moet bewijzen? Of wat zie ik over het hoofd?

Veranderd door Nikolas, 16 april 2009 - 15:54


#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 15:51

Ja natuurlijk, met (lui) copy/paste heb ik gewoon twee keer v genomen, daarna moest het uiteraard w zijn. Daarin ben ik in m'n vorig bericht ook op verder gegaan (kwadraten zijn er dan niet, dat zijn de termen viwi enzovoort).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 15:56

Okť, negeer die edit maar. Dat is waarschijnlijk de definitie van een vector? Toch? Bah, volgens mij hebben wij echt een slechte cursus. Of ik ben gewoon dom.

Overigens heb je wel gelijk over die distributieve eigenschappen.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 15:59

Okť, negeer die edit maar. Dat is waarschijnlijk de definitie van een vector? Toch? Bah, volgens mij hebben wij echt een slechte cursus. Of ik ben gewoon dom.

Dat is precies het gebruik van een coŲrdinatenstelsel: je kan elke vector schrijven als een lineaire combinatie van basisvectoren, de coŽfficiŽnten zijn precies de kengetallen ("coŲrdinaten").
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Nikolas

    Nikolas


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 april 2009 - 16:21

Okť, ik ben er geraakt. Bedankt voor de hulp, TD!

Veranderd door Nikolas, 16 april 2009 - 16:21


#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 april 2009 - 16:22

Graag gedaan - sorry voor de verwarring ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures