Scalair product van twee vectoren

Nikolas

Zijn v en w vectoren, met t.o.v. de orthonormale basis (e1,e2,e3) respectieve kentallen (v1,v2,v3) en (w1,w2,w3) dan geldt er:

v.w=v1*w1+v2*w2+v3*w3

Bewijs dit en hou rekening met e1*e1=e2*e2=e3*e3=1 en e1*e3=e2*e3=e1*e2=0.

Ik dacht er eerst aan om dit te doen aan de hand van de norm van de vectoren en de cosinusregel. Maar het gevolg van deze stelling is nét de norm van een vector i.f.v. de kengetallen. Dus hoe pak je dan zoiets aan?

TD

Wat is de (jouw) definitie van het scalair product?

Nikolas

Wat is de (jouw) definitie van het scalair product?

Definitie:

(1)is v is of w de nulvector, dan is het scalair product 0

(2)zijn v en w beiden verschillende van de nulvector dan is v*w=||v||*||w||*cos(v,w)

TD

En welke definitie voor de norm, aangezien die in functie van de kengetallen blijkbaar later komt...?

Nikolas

En welke definitie voor de norm, aangezien die in functie van de kengetallen blijkbaar later komt...?

In mijn cursus staat:

De norm van een vector v, genoteerd ||v||, is de afstand tussen twee willekeurige punten P en Q die een representant van v bepalen.

TD

Dat lijkt me toch wat vreemd. Op basis van de oorspronkelijke vraagstelling zou ik denken dat je al een soort van distributieve eigenschap moet hebben gezien van dit scalair product om die tip te kunnen gebruiken, en een eigenschap die zegt dat constante factoren naar voor kunnen. Ik denk dat je bij die basisvectoren dan ook niet de vermenigvuldiging * bedoelt (dat kan zelfs niet!), maar precies je scalair product ".".

Nikolas schreef:Zijn v en w vectoren, met t.o.v. de orthonormale basis (e1,e2,e3) respectieve kentallen (v1,v2,v3) en (w1,w2,w3) dan geldt er:

v.w=v1*w1+v2*w2+v3*w3

Bewijs dit en hou rekening met e1*e1=e2*e2=e3*e3=1 en e1*e3=e2*e3=e1*e2=0.

Uitschrijven levert dan:

\(\vec v \cdot \vec w = \left( {v_1 \vec e_1 + v_2 \vec e_2 + v_3 \vec e_3 } \right) \cdot \left( {v_1 \vec e_1 + v_2 \vec e_2 + v_3 \vec e_3 } \right)\)

Dan werk je distributief uit en gebruik je de gekende scalaire producten van de basisvectoren:

\(\left( {v_1 \vec e_1 } \right) \cdot \left( {v_1 \vec e_1 } \right) + \left( {v_1 \vec e_1 } \right) \cdot \left( {v_2 \vec e_2 } \right) \cdots = v_1 ^2 \underbrace {\vec e_1 \cdot \vec e_1 }_1 + v_1 v_2 \underbrace {\vec e_1 \cdot \vec e_2 }_0 + \cdots \)

Nikolas

Bedankt TD, ik snap wat je bedoelt. Ik bedoelde ook het scalair product!

Ik zal het nu eens volledig proberen uit te werken. Mag ik het daarna op het forum plaatsen ter verbetering?

TD

Natuurlijk, maar ik denk dat je "op het zicht" al kan voorspellen wat er zal gebeuren (kijk maar eens goed): na volledig uitwerken krijg je 9 termen (want 3 x 3) waarvan er drie kwadraten in de kentallen (bij gelijke basisvectoren, dus met hun scalair product 1) en zes gemengde termen in de kentallen (met ook gemengde basisvectoren, dus met hun scalair product 0) - je houdt precies de som van de kwadraten van de kentallen over. Schrijf het maar eens uit, maar bespaar je het overtypen als het uitkomt

Nikolas

TD schreef:Dat lijkt me toch wat vreemd. Op basis van de oorspronkelijke vraagstelling zou ik denken dat je al een soort van distributieve eigenschap moet hebben gezien van dit scalair product om die tip te kunnen gebruiken, en een eigenschap die zegt dat constante factoren naar voor kunnen. Ik denk dat je bij die basisvectoren dan ook niet de vermenigvuldiging * bedoelt (dat kan zelfs niet!), maar precies je scalair product ".".

Uitschrijven levert dan:

\(\vec v \cdot \vec w = \left( {v_1 \vec e_1 + v_2 \vec e_2 + v_3 \vec e_3 } \right) \cdot \left( {v_1 \vec e_1 + v_2 \vec e_2 + v_3 \vec e_3 } \right)\)
Dan werk je distributief uit en gebruik je de gekende scalaire producten van de basisvectoren:

\(\left( {v_1 \vec e_1 } \right) \cdot \left( {v_1 \vec e_1 } \right) + \left( {v_1 \vec e_1 } \right) \cdot \left( {v_2 \vec e_2 } \right) \cdots = v_1 ^2 \underbrace {\vec e_1 \cdot \vec e_1 }_1 + v_1 v_2 \underbrace {\vec e_1 \cdot \vec e_2 }_0 + \cdots \)

Maar moet dit:

\(\vec v \cdot \vec w = \left( {v_1 \vec e_1 + v_2 \vec e_2 + v_3 \vec e_3 } \right) \cdot \left( {v_1 \vec e_1 + v_2 \vec e_2 + v_3 \vec e_3 } \right)\)

Niet dit zijn:

\(\vec v \cdot \vec w = \left( {v_1 \vec e_1 + v_2 \vec e_2 + v_3 \vec e_3 } \right) \cdot \left( {w_1 \vec e_1 + w_2 \vec e_2 + w_3 \vec e_3 } \right)\)

EDIT: pff, ik snap het blijkbaar toch niet. Waar haal je vandaan dat:

\(\vec v= \left( {v_1 \vec e_1 + v_2 \vec e_2 + v_3 \vec e_3 } \right) \)

Dat is toch juist wat ik moet bewijzen? Of wat zie ik over het hoofd?

TD

Ja natuurlijk, met (lui) copy/paste heb ik gewoon twee keer v genomen, daarna moest het uiteraard w zijn. Daarin ben ik in m'n vorig bericht ook op verder gegaan (kwadraten zijn er dan niet, dat zijn de termen v_iw_i enzovoort).

Nikolas

Oké, negeer die edit maar. Dat is waarschijnlijk de definitie van een vector? Toch? Bah, volgens mij hebben wij echt een slechte cursus. Of ik ben gewoon dom.

Overigens heb je wel gelijk over die distributieve eigenschappen.

TD

Oké, negeer die edit maar. Dat is waarschijnlijk de definitie van een vector? Toch? Bah, volgens mij hebben wij echt een slechte cursus. Of ik ben gewoon dom.

Dat is precies het gebruik van een coördinatenstelsel: je kan elke vector schrijven als een lineaire combinatie van basisvectoren, de coëfficiënten zijn precies de kengetallen ("coördinaten").

Nikolas

Oké, ik ben er geraakt. Bedankt voor de hulp, TD!

TD

Graag gedaan - sorry voor de verwarring

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Scalair product van twee vectoren

Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren

Re: Scalair product van twee vectoren