[wiskunde] volume ingesloten in cilinder, bol en xy-vlak

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 18

[wiskunde] volume ingesloten in cilinder, bol en xy-vlak

ik moet het volume berekenen dat begrensd is door het XY-vlak, de cilinder x^2+y^2=1 en de bol x^2+y^2+z^2=9, dus eigenlijk het volume in de cilinder met ondergrens z=0 en bovengrens z=bol

nu dacht ik een driedubbele integraal te berekenen van de cilinder in cilindercoördinaten (omzetten naar cilindercoördinaten levert r=1 als ik me niet vergis) met r=0..1, theta=0..2Pi en z=0..bol

integreren tot aan z gaat maar dan weet ik niet hoe ik verder moet om die bol daarin te betrekken.

als ik als bovengrens de z van de bol in bolcoördinaten zou nemen dan moet ik terug een driedubbele integraal uitrekenen en dat kan volgens mij niet de bedoeling zijn.

iemand die weet wat ik dan als bovengrens moet nemen?

bedankt,

Chosen1

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] volume ingesloten in cilinder, bol en xy-vlak

Welkom op het forum Huiswerk en Practica.

Jij wilt vlot hulp. Dat is alleen goed mogelijk als je daar zelf wat voor doet.

Naast de algemene regels van dit forum hebben we voor dit huiswerkforum een paar speciale regels en tips.

Die vind je in de huiswerkbijsluiter

In die huiswerkbijsluiter staat bijvoorbeeld:

Quote[td] [color="#808080"][b][u]VAKGEBIED-TAGS[/u][/b] [i]Plaats het vakgebied waarop je vraag betrekking heeft tussen rechte haken in de titel. bijv: [biologie] of [frans]. Zo blijft dit huiswerkforum overzichtelijk.[/i] [/color] [/td]
Hebben we even voor je gedaan. Denk je er de volgende keer zelf aan?[/color]
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] volume ingesloten in cilinder, bol en xy-vlak

Je idee is goed: het grondvlak is een cirkel (r:0..1, t:0..2pi) en in de hoogte moet je integreren van de bodem (z=0) tot het "dak", dat is de bovenkant van de bol (z=sqrt(9-r²)). In feite dus gewoon een dubbele integraal over die cirkel waarbij je z=sqrt(9-r²) integreert.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 18

Re: [wiskunde] volume ingesloten in cilinder, bol en xy-vlak

Je idee is goed: het grondvlak is een cirkel (r:0..1, t:0..2pi) en in de hoogte moet je integreren van de bodem (z=0) tot het "dak", dat is de bovenkant van de bol (z=sqrt(9-r²)). In feite dus gewoon een dubbele integraal over die cirkel waarbij je z=sqrt(9-r²) integreert.
hoe kom ik aan z=sqrt(9-r²) ? via bolcoördinaten zou dat toch z=sqrt(r²-x²-y²) moeten zijn?

mvg,

Chosen1

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] volume ingesloten in cilinder, bol en xy-vlak

Je kan geen coördinatenstelsels gaan mengen in één integraal, ik dacht dat we cilindrisch bezig waren. Lijkt me ook het handigst hier, dan gaat x²+y² over in r² en vind je voor de bovenkant van de bol dus sqrt(9-r²). Vergeet niet dat dxdy overgaat in rdrdt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 18

Re: [wiskunde] volume ingesloten in cilinder, bol en xy-vlak

Je kan geen coördinatenstelsels gaan mengen in één integraal, ik dacht dat we cilindrisch bezig waren. Lijkt me ook het handigst hier, dan gaat x²+y² over in r² en vind je voor de bovenkant van de bol dus sqrt(9-r²). Vergeet niet dat dxdy overgaat in rdrdt.
bedankt!

mijn probleem was dat ik 2 coördinatenstelsels wou combineren.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] volume ingesloten in cilinder, bol en xy-vlak

Ben je er hiermee geraakt? De integraal wordt dus:
\(V = \int_0^{2\pi } {\int_0^1 {r\sqrt {9 - r^2 } \,\mbox{d}r} } \,\mbox{d}t = \frac{\pi }{3}\left( {54 - 32\sqrt 2 } \right)\)
Ter controle heb ik de uitkomst er al bij gezet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 18

Re: [wiskunde] volume ingesloten in cilinder, bol en xy-vlak

TD schreef:Ben je er hiermee geraakt? De integraal wordt dus:
\(V = \int_0^{2\pi } {\int_0^1 {r\sqrt {9 - r^2 } \,\mbox{d}r} } \,\mbox{d}t = \frac{\pi }{3}\left( {54 - 32\sqrt 2 } \right)\)
Ter controle heb ik de uitkomst er al bij gezet.
dat kwam ik ook uit (na vereenvoudigen dan toch)

hartelijk bedankt (en nog zo snel ook!)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] volume ingesloten in cilinder, bol en xy-vlak

chosen1 schreef:dat kwam ik ook uit (na vereenvoudigen dan toch)

hartelijk bedankt (en nog zo snel ook!)
Soms moet je wat geduldig zijn, soms gaat het hier goed vooruit ;) Graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer