Springen naar inhoud

bewijs -1 = 1


  • Log in om te kunnen reageren

#1

aaargh

    aaargh


  • >1k berichten
  • 1279 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 juni 2005 - 18:41

-1 = i*i = sqr(-1) * sqr(-1) = sqr(-1 * -1) = sqr(1) = 1

En toch is -1 niet 1?

Ik denk dat ik de oplosing ken en zet hem in het wit hieronder. Als je hem wilt bekijken selecteer je hem gewoon.


Een vierkantwortel heeft 2 oplossingen, een negatieve en een positieve. Dus kan sqr(1) ook -1 zijn.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juni 2005 - 19:03

Voor vierkantswortels van positieve reŽle getallen nemen we per conventie de positieve wortel wanneer je de sqrt-functie gebruikt. Bij negatieve getallen is dat niet langer zo omdat bij de complexe getallen positief/negatief niet eenduidig gedefinieerd is.

Op het moment dat jij "sqrt(-1) * sqrt(-1)" schrijft is dat dus (zonder fouten te maken) gelijk aan "(sqrt(-1))≤" = i≤ = -1, terug je startwaarde.

Wanneer jij ze 'samenvoegt' en dan vermenigvuldigt zit je weer bij positieve reŽle getallen waar een conventie geldt die niet gold voor je startwaarde.

#3

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juni 2005 - 19:06

(-1)(-1) = 1, dus :shock:((-1)(-1)) = 1, maar :?:(-1) :?:(-1) = i2 = -1 en niet 1
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#4

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juni 2005 - 19:27

Volgens mij is

;)(z) :?: :?:(z) :shock: ;)(z2) voor z :?: ;)

In de reele getallen gaat het wel goed.

Als je het in machten schrijft gaat het wel goed:

(-1)1/2 :?: (-1)1/2 = (-1)1/2 + 1/2 = (-1)1 = -1

edit: foutje
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juni 2005 - 20:35

Volgens mij is

;)(z) :?: ;)(z) :shock: :?:(z2) voor z ;)  :?:  

In de reele getallen gaat het wel goed.

Voor z ;) ;) ook, maar je bedoelde waarschijnlijk z :?: :?: :wink:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 juni 2005 - 20:46

Oeps, ik heb het even aangepast.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#7

klazon

    klazon


  • >5k berichten
  • 6607 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juni 2005 - 09:15

...... Bij negatieve getallen is dat niet langer zo omdat bij de complexe getallen positief/negatief niet eenduidig gedefinieerd is.

Volgens mij wel. Sqrt(-1) = +i en niet -i.

#8

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juni 2005 - 09:21

Volgens mij wel. Sqrt(-1) = +i en niet -i.


i * i = i2 = -1

-i * -i = (-1) * i * (-1) * i = (-1)2 * i2 = -1
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#9

klazon

    klazon


  • >5k berichten
  • 6607 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juni 2005 - 09:53

Bart,
je hebt bij complexe getallen ook nog zoiets als het argument, ook wel de poolhoek genoemd.
Het argument van -1 is 180gr, dus het argument van sqrt(-1) is 90gr. Dan kom je bij +i uit.
Weliswaar heb je gelijk dat (-i)^2 ook -1 oplevert. Maar dat wil niet zeggen dat sqrt(-1) ook -i kan zijn. Volgens mij is dat een ongeldige oplossing omdat je dan met de argumenten niet goed uitkomt.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juni 2005 - 10:06

Voor de conventies over welke wortel we nemen bij de 'sqrt', zie http://mathworld.wol...SquareRoot.html

#11

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juni 2005 - 10:13

Bart,
je hebt bij complexe getallen ook nog zoiets als het argument, ook wel de poolhoek genoemd.
Het argument van -1 is 180gr, dus het argument van sqrt(-1) is 90gr. Dan kom je bij +i uit.
Weliswaar heb je gelijk dat (-i)^2 ook -1 oplevert. Maar dat wil niet zeggen dat sqrt(-1) ook -i kan zijn. Volgens mij is dat een ongeldige oplossing omdat je dan met de argumenten niet goed uitkomt.


Het argument van -1 is ook -180 graden, vanwege de 360 graden periodiciteit.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#12

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juni 2005 - 10:14

...... Bij negatieve getallen is dat niet langer zo omdat bij de complexe getallen positief/negatief niet eenduidig gedefinieerd is.

Volgens mij wel. Sqrt(-1) = +i en niet -i.

Het reŽle deel moet in ieder geval [grotergelijk]0 zijn, en als het kan het imaginaire ook (zie ook hier).

Het argument is dus altijd > 270o of :shock: 90o.

Daarom geldt ook niet [wortel]a ;) [wortel]b = :?:(ab) :?: a,b :?: :?:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#13

w00tw00t

    w00tw00t


  • >100 berichten
  • 187 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 juni 2005 - 10:49

in de trant van:

A = B
A^2 = AB
A^2 - B^2 = AB - B^2
(A+B)(A-B) = (A-B)B
A + B = B

:shock:

#14

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juni 2005 - 10:57

A = B
A^2 = AB
A^2 - B^2 = AB - B^2
(A+B)(A-B) = (A-B)B
A + B = B

Juist.
Enne, delen door 0 mag hier niet.

Meer van deze leuke dingen / schijnbare paradoxen?
http://www.math.toro.../fallacies.html
http://www.science.u...eb00/drog2.php3
etc. etc.

Maareh... laten we ontopic blijven! :wink:
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#15

klazon

    klazon


  • >5k berichten
  • 6607 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 juni 2005 - 11:09

....Het argument van -1 is ook -180 graden, vanwege de 360 graden periodiciteit.

Volgens mij is het de gewoonte om alleen met positieve argumenten te werken, dus vanaf de positieve reŽle as linksom gerekend.

Kan zijn dat ik het wiskundig niet helemaal goed zie. Ik gebruik de complexe rekenwijze eigenlijk alleen in de elektrotechniek om complexe impedanties en fasehoeken uit te rekenen. En daarbij worden bepaalde "foute" oplossingen uitgesloten omdat je anders resultaten krijgt die technisch gewoon niet kunnen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures