Springen naar inhoud

[analyse] samenhangendheid


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 april 2009 - 21:40

Beste forummers:
Samenhangendheid is het onderwerp van de dag. Graag zou ik hints willen bij de volgende lastige opgave:
Geplaatste afbeelding

Wat ik denk ( bij eerste deel):
Als V=O verenigd met U, ( met O,U open), dan is O ook een gesloten deelverzameling. Immers, neem een limietpunt p element van V, van O. p ligt in O of in U ( maar niet in beide). Aangezien U open is kan p niet in U liggen, want stel p zou wel in U liggen; dan zou er dus een epsilon>0 zijn zodat B(p;epsilon) helemaal bevat is in U. Dus dan is p geen limietpunt van O.

( De andere kant op van (i) weet ik niet).
Iemand?..
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Heezen

    Heezen


  • >250 berichten
  • 481 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 april 2009 - 22:55

Ben alweer wat verder: tot (iii) heb ik hem, bij (iii) kom er niet uit:
Bewijs omgekeerde implicatie (i):
Stel: V is onsamenhangend=> Er is een O die in V ligt ( met O niet V, en niet leeg) zodat O open en gesloten is . ( Definitie van samenhangendheid dus.) We weten dat V\O ( Dus O complement) open en gesloten is ( omdat complement van open verz. gesloten is etc.) , dat O verenigd met V\O , V is, en dat ze disjunkt zijn.
Dus V=O verenigd met U ,zoals aangetoond diende te worden.

Bewijs (ii):
Stel V samenhangend en f: V-> W continu.
We gebruiken de contradiktie methode:
Stel f(V) is niet samenhangend=> f(V)=X verenigd met Y ( X,Y disjunkt, en open). We nemen de volledig origineel aan beide kanten en krijgen: ( Voll. origineel van open verzameling is open , want f continu)
V=f^-1(X verenigd met Y)=f^-1(X) verenigd met f^-1(Y) ( Deze stap is gerechtvaardigd vanwege een lemma in mn diktaat. De notatie f^-1 is het voll. origineel symbool; geen inverse of exponent dus.)

Omdat X,Y open zijn, is f^-1(X) en f^-1(Y) ook open. Het is ook duidelijk dat ze disjunkt zijn.
Dit geeft dat V onsamenhangend is, gebruik makend van (i); in tegenstrijd tot onze aanname dat V wel samenhangend was.
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just fucked urself..
Correct me if I'm wrong.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures