Samenhangendheid is het onderwerp van de dag. Graag zou ik hints willen bij de volgende lastige opgave:
Wat ik denk ( bij eerste deel):
Als V=O verenigd met U, ( met O,U open), dan is O ook een gesloten deelverzameling. Immers, neem een limietpunt p element van V, van O. p ligt in O of in U ( maar niet in beide). Aangezien U open is kan p niet in U liggen, want stel p zou wel in U liggen; dan zou er dus een epsilon>0 zijn zodat B(p;epsilon) helemaal bevat is in U. Dus dan is p geen limietpunt van O.
( De andere kant op van (i) weet ik niet).
Iemand?..
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..
Ben alweer wat verder: tot (iii) heb ik hem, bij (iii) kom er niet uit:
Bewijs omgekeerde implicatie (i):
Stel: V is onsamenhangend=> Er is een O die in V ligt ( met O niet V, en niet leeg) zodat O open en gesloten is . ( Definitie van samenhangendheid dus.) We weten dat V\O ( Dus O complement) open en gesloten is ( omdat complement van open verz. gesloten is etc.) , dat O verenigd met V\O , V is, en dat ze disjunkt zijn.
Dus V=O verenigd met U ,zoals aangetoond diende te worden.
Bewijs (ii):
Stel V samenhangend en f: V-> W continu.
We gebruiken de contradiktie methode:
Stel f(V) is niet samenhangend=> f(V)=X verenigd met Y ( X,Y disjunkt, en open). We nemen de volledig origineel aan beide kanten en krijgen: ( Voll. origineel van open verzameling is open , want f continu)
V=f^-1(X verenigd met Y)=f^-1(X) verenigd met f^-1(Y) ( Deze stap is gerechtvaardigd vanwege een lemma in mn diktaat. De notatie f^-1 is het voll. origineel symbool; geen inverse of exponent dus.)
Omdat X,Y open zijn, is f^-1(X) en f^-1(Y) ook open. Het is ook duidelijk dat ze disjunkt zijn.
Dit geeft dat V onsamenhangend is, gebruik makend van (i); in tegenstrijd tot onze aanname dat V wel samenhangend was.
Procrastination is like masturbation; it's all fun and games till you realize you just **** urself..
