Integreren voor beginners

Axel van de Graaf

Voor wie integreren voor gevorderden nog te moeilijk is

\(\int e^{\sqrt{x}} dx \)

\(\int \frac{x² dx}{\sqrt{49-x²}} \)

Klintersaas

\(\int e^{\sqrt{x}} dx \)

Eerst de 49 buiten brengen en vervolgens substitutie

\(t = \frac{1}{7}x\)

:

\(I = 49 \int \frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}\mbox{d}t\)

Substitutie

\(t = \sin(u)\)

:

\(I = 49 \int \frac{\sin^2(u)\cos(u)}{\sqrt{1-\sin^2(u)}}\mbox{d}u = 49 \int \sin^2(u)\mbox{d}u = \frac{49}{2}(u - \sin(u)\cos(u)) + C \)

Substituties één voor één ongedaan maken:

\(I = \frac{49}{2}(\arcsin(t) - t\sqrt{1-t^2}) + C = \frac{49}{2}\left(\arcsin\left(\frac17x\right) - \frac17x\sqrt{1-\frac{1}{49}x^2}\right) + C\)

Die laatste kan mogelijk wat korter, maar ik schud deze oplossingen ook zo maar even tussendoor uit mijn mouw.

Klintersaas

EDIT: Iets elegantere schrijfwijze voor de laatste:

\(I = \frac{49}{2}\arcsin\left(\frac17x\right) - \frac12x\sqrt{49-x^2} + C\)

Axel van de Graaf

Klintersaas schreef:Substitutie
\(t^2 = \sqrt{x}\)
:[/b]

\(I = 2\int te^t\mbox{d}t\)

Ik vermoed dat je

\(t^2 = x\)

bedoelt?

Klintersaas

Uiteraard.

Axel van de Graaf

\( \int (x³-1)^{50} x^8 dx \)

edit: er wordt uiteraard een korte oplossing verwacht

jhnbk

Ik ga het niet uitwerken aangezien het het minder gevorderde topic is maar ik meen dat partiële integratie te kortste methode zal geven.

Axel van de Graaf

Ik ga het niet uitwerken aangezien het het minder gevorderde topic is maar ik meen dat partiële integratie te kortste methode zal geven.

Je bedoelt partieel integreren tot x^8 weg is? Nee, het kan korter.

jhnbk

Je bedoelt partieel integreren tot x^8 weg is? Nee, het kan korter.

Neen dat bedoel ik uiteraard niet.

Het kan zie ik hier met 2x partiële integratie en 1x substitutie.

Axel van de Graaf

jhnbk schreef:Neen dat bedoel ik uiteraard niet.

Het kan zie ik hier met 2x partiële integratie en 1x substitutie.

Met één substitutie zou je genoeg moeten hebben. (zonder partiële integraties)

Drieske

Substitutie van x³-1 = t, dan is 3x² dx = dt en

\(x^6 = (t+1)^2=t^2+2t+1\)

en nu heb je een eenvoudige veelterm om te integreren

Nl

\(\int \frac{t^{52}+2 t^{51} + t^{50}}{3} dt\)

dirkwb

Met

\( u= x^3-1 \)

\( \frac{1}{3}\ \mbox{d}u = x^2\ \mbox{d}x\)

volgt er:

\( \frac{1}{3} \cdot \int u(u+1)^2 \mbox{d}u = ...\)

Een nieuwe: los op zonder breuksplitsen:

\( \int \frac{1}{x^7-x}\ \mbox{d}x \)

Klintersaas

dirkwb schreef:Een nieuwe: los op zonder breuksplitsen:

\( \int \frac{1}{x^7-x}\ \mbox{d}x \)

Nu heb ik niet zoveel tijd, dus straks zal ik de uitwerking posten, maar het lijkt me dat je er komt met de substitutie

\(x = \frac1t\)

.

Klintersaas

Dus, zoals gezegd: substitutie

\(x = \frac1t \qquad \mbox{d}x = \frac{-1}{t^2}\mbox{d}t\)

:

\(I = -\int \frac{1}{\frac{1}{t^7} - \frac{1}{t}}\cdot\frac{1}{t^2}\mbox{d}t = -\int \frac{1}{\frac{1-t^6}{t^5}}\mbox{d}t = -\int \frac{t^5}{1-t^6}\mbox{d}t\)

Substitutie

\(1-t^6 = u \qquad -6t^5\mbox{d}t = \mbox{d}u \Leftrightarrow t^5\mbox{d}t = \frac{-\mbox{d}u}{6}\)

\(I = \frac16\int \frac{\mbox{d}u}{u} = \frac16\ln|u| + C = \frac16\ln\left|1 - \frac{1}{x^6}\right| + C\)

dirkwb

Correct, je mag een nieuwe plaatsen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Integreren voor beginners

Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners

Re: Integreren voor beginners