Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 8.614
Opgave:
\(I = \int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\mbox{d}x\)
Mijn uitwerking:
Substitutie
\(x = \frac1t\)
:
\(I = -\int \frac{\sqrt{1-t^2}}{t^2}\mbox{d}t\)
Substitutie
\(t = \sin(u)\)
:
\(I = -\int \frac{\sqrt{1-\sin^2(u)}\cos(u)}{\sin^2(u)}\mbox{d}u = -\int \frac{\cos^2(u)}{\sin^2(u)}\mbox{d}u\)
Partiële integratie:
\(I = \cos^3(u) + 2\int \cos^2(u)\mbox{d}u = \cos^3(u) + u + \sin(u)\cos(u) + C\)
Substituties ongedaan maken:
\(I = \sqrt{(1-t^2)^3} + \arcsin(t) + t\sqrt{1-t^2} + C = \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\left(1-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\right) + \arcsin\left(\frac1x\right) + C\)
Helaas blijkt mijn einduitkomst niet te kloppen wanneer ik controleer. Waar zit mijn fout (of heb ik misschien gewoon slecht gecontroleerd)?
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP?
Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
-
- Berichten: 771
Bij je eerste substitutie is het maal t² ipv delen door t²
edit: nvm, het is niet maal t²...
maar dan nog: is die delen door t² wel juist?
want die maal t² van je substitutie valt weg met 1/t² bij je dt
Bericht
23-04-'09, 21:34
TD
-
- Berichten: 24.578
Volgens mij gaat je partiële integratie mis, daar begrijp ik niet goed wat je doet.
\(I = -\int \frac{\sqrt{1-\sin^2(u)}\cos(u)}{\sin^2(u)}\mbox{d}u = -\int \frac{\cos^2(u)}{\sin^2(u)}\mbox{d}u\)
Maar eigenlijk zou ik hier gewoon anders beginnen, namelijk x = sec(t).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 8.614
Tommeke14 schreef:maar dan nog: is die delen door t² wel juist?
want die maal t² van je substitutie valt weg met 1/t² bij je dt
Wat meer tussenstappen:
\(I = \int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\mbox{d}x = -\int \frac{\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}}{\frac1t} \cdot \frac{1}{t^2}\mbox{d}t = -\int \frac{\sqrt{\frac{1-t^2}{t^2}}}{\frac1t}\cdot \frac{1}{t^2}\mbox{d}t = -\int \frac{\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}}{\frac1t}\cdot \frac{1}{t^2}\mbox{d}t = -\int \frac{\sqrt{1-t^2}}{t^2}\mbox{d}t\)
Volgens mij gaat je partiële integratie mis, daar begrijp ik niet goed wat je doet.
Ik zie al iets, ik ben een keer vergeten te delen door
\(-\sin(u)\)
Ik zou hier sowieso geen partiële integratie doen, maar:
cos²u/sin²u = (1-sin²u)/sin²u = 1/sin²u-1
De primitieve is dan direct -cot(u)-u+C.
Maar eigenlijk zou ik hier gewoon anders beginnen, namelijk x = sec(t).
Dat zijn natuurlijk ook - achteraf gezien snellere - mogelijkheden.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP?
Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
