Springen naar inhoud

Telprobleem van Newton


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Anthrax

    Anthrax


  • >250 berichten
  • 486 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 juni 2005 - 16:35

Hallo iedereen,
Sins enkele dagen hadden we telproblemen in wiskunde op school, ik vond dit we interessant, vooral hoeveel verschillende combinatie ja kan maken met bv 2 identieke dobbelstenen (12 en 21 zijn 1 combinatie) ( wat natuurlijk 21 is)
ik bedacht dat 6*6=36 36-6=30(voor de koppels 11 22 33 44 55 66) en dat alle andere kopels dubbel waren dus 30/2=15 en dan 15+6=21
ik vroeg me af of er ook zo iets was voor 3 dobbelstenen of bv 4 dobbelstenen die zogezegt maar 5 vlakken hadden
zo kwam ik tot een tabel
 1  2  3  4  5  6  7 => het aantal verschillende getallen er zijn

1 1  2  3  4  5  6  7 

2 1  3  6 10 15 21 28

3 1  4 10 20 35 56

4 1  5 15 35 70 126

5 1  6 21

6 1  7 28

||

hoe lang de serie is.
ik merkte dat je diagonaal van links onder naar rechtsboven altijd dezelfde tegen komt en ook dat 4/3,10/6,20/10,35/15,56/21 altijd 1/3 stijgen en ook zo met de andere horizontale lijnen

nu zei men de leerkracht dat dit iets was wat newton al had ontdekt hij zei ook de naam maar die ben ik vergeten... weet iemand hoe dit noem, en of er ook een relatie is bij de verticale lijnen. en hoe het komt dat er altijd 3hoeksgetallen zijn.

ja srry maar de spaties tussen men kolommen zijn automatisch weg gegaan en ik was ook niet ingelogged
Moderator (Bart): 2x opgelost

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Antoon

    Antoon


  • >1k berichten
  • 1750 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 juni 2005 - 19:13

Dit was newton niet,
Maar een italiaanse kippen handelaar volgens mij.

Verdie zie je dat een getal binnen de buitense kolom de som is van het getal er boven en het getal er links naast.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 juni 2005 - 19:50

Hallo iedereen,
nu zei men de leerkracht dat dit iets was wat newton al had ontdekt hij zei ook de naam maar die ben ik vergeten...

Misschien had hij het over het 'Binomium van Newton'? Diagonaal krijg je immers die coŽfficiŽnten, als je hem 'recht' zet krijg je de 'Driehoek van Pascal'

#4


  • Gast

Geplaatst op 11 juni 2005 - 11:00

ja dat was het het 'Binomium van Newton'. bedankt

#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 juni 2005 - 11:34

Het aantal mogelijkheden met n dobbelstenen met ieder k zijden, is (n+k-1) nCr n = "n+k-1 boven n" = (n+k-1)!/(n!:shock:(k-1)!), uitleg.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

Anthrax

    Anthrax


  • >250 berichten
  • 486 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 juni 2005 - 17:00

Nu ik weet hoe het noemt heb ik zelf ook wat info gevonden, moest er iemand geinteresseerd zijn
Binomium van Newton

Het binomium van Newton is een wiskundige formule waarmee de macht van de som van twee grootheden kan worden uitgedrukt in een som van termen waarin de machten van de grootheden afzonderlijk voorkomen.



[bewerken]

Natuurlijke exponent

De eenvoudigste vorm is



 

waarbij n een natuurlijk getal is, en de getallen



 

de binomiaalcoŽfficiŽnten.



Dit zijn de uitwerkingen voor n=2, n=3 en n=4:



 

 

 

Formule (1) geldt voor alle reŽle en complexe getallen x en y, en meer in het algemeen voor elk paar elementen x en y in een commutatieve ring.



Deze formule, en de rangschikking van binomiale coŽfficiŽnten in een driehoek, worden vaak toegeschreven aan Blaise Pascal omdat die ze in de 17de eeuw beschreef. De formule was bij Chinese wiskundigen echter lang daarvoor al bekend.



[bewerken]

Algemene formule

Isaac Newton generaliseerde de formule voor andere exponenten, door het beschouwen van een oneindige reeks:



 

waarin r een willekeurig complex getal kan zijn (dus ook elk reŽel getal; niet noodzakelijkerwijs positief of geheel), en waarbij de coŽfficiŽnten gelijk zijn aan:



 

(wat in het geval van k = 0 een product van nul getallen is, en daarmee gelijk aan 1, en in het geval van k = 1 gelijk is aan r, aangezien dat in dat geval de enige term is).



De som in (2) convergeert, en de vergelijking geldt, wanneer de reŽle of complexe getallen x en y "dicht bijelkaar" liggen, wat wil zeggen dat de absolute waarde van hun deling (|x/y|) minder moet zijn dan 1.



Formule (2) geldt ook voor elk paar waarden x en y in een Banach-algebra mits: xy = yx, y inverteerbaar en ||x/y|| < 1.
en
Driehoek van Pascal

De driehoek van Pascal is een rangschikking van de binomiaalcoŽfficiŽnten  in rijen voor toenemende n beginnend met n=0 en op elke rij de n+1 binomiaalcoŽfficiŽnten voor de mogelijke waarden van k. In de driehoek komt de eigenschap tot uitdrukking dat elke binomiaalcoŽfficiŽnt de som is van de twee bovenliggende. De getallen in de driehoek geven het aantal wegen aan vanaf de top naar de plaats van zo'n getal, waarmee ook de besproken eigenschap verklaard is. Omdat er steeds 2 keuzen zijn om de weg naar onder te vervolgen is de som van de getallen op een rij de overeenkomstige macht van 2.









                                       1

                                     1   1

                                   1   2   1

                                 1   3   3   1

                               1   4   6   4   1

                             1   5  10   10  5   1

                           1   6  15   20  15  6   1



De driehoek is combinatorisch van aard en werd door Pascal toegepast in het onderstaande probleem in de kansrekening bij het dobbelen.



Overigens ordende Pascal de getallen van de driehoek in een rechthoekig schema:



                           1   1   1   1   1   1   1

                           1   2   3   4   5   6

                           1   3   6  10  15

                           1   4  10  20

                           1   5  15

                           1   6                              

                           1   

  

en noemde het getal op het kruispunt van rij i en kolom j: cij, zodat



 

en de genoemde eigenschap luidt:



 







[bewerken]

"problŤme des partis"

Pascal ontwikkelde de naar hem genoemde getallendriehoek bij het oplossen van het zgn. "problŤme des partis"", het partijenprobleem. Dit probleem wordt al genoemd in een Italiaans geschrift uit 1380. Het luidt als volgt:



Twee partijen spelen een balspel. Beide partijen hebben gelijke kans te winnen. De partij die als eerste 6 keer heeft gewonnen, krijgt de pot van 60 dukaten. Om een of andere reden moet het spel afgebroken worden bij een stand van 5-3. Hoe moet de pot nu verdeeld worden?



De Italiaanse wiskundige Pacioli gaf in 1494 als oplossing dat de pot verdeeld moest worden in de verhouding 5:3, dus naar de stand bij afbreken. Een collega wiskundige, Cardano, meende echter dat men rekening moest houden met de winstkansen als verder zou worden gespeeld. Men kon in die tijd geen goede oplossing bedenken.



Pascal (1623 - 1662) kreeg het probleem, naast andere, voorgelegd door de Franse edelman Chevalier de Mťrť:



Twee spelers dobbelen om een inzet, zo dat wie het eerst drie partijen wint de pot krijgt. Het probleem was hoe de pot verdeeld moest worden waneer de wedstrijd voortijdig werd afgebroken. Pascal komt stap voor stap tot de algemene formulering voor elk spel, waarin bij afbreken de ene speler nog m keer moet winnen en de andere speler nog n keer om de pot te krijgen.



Zijn oplossing was: de pot moet verdeeld worden in de verhouding N : M van de winstkansen van de beide spelers bij de afbreekstand, waarin:



, de som van de eerste n getallen op de (m+n-1)-de rij (geteld vanaf rij 0) in de driehoek 

en



, de som van de laatste m getallen op die rij. 

Pascal noemde zijn ontdekking de gťometrie du hasard (meetkunde van het toeval). De getallendriehoek als figuur was al eeuwen tevoren bekend bij onder meer enkele Chinese wiskundigen, maar de toepassing ervan in de kansrekening was Pascals ontdekking.
allebei van Wikipedia





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures