Wetenschapsforum

Code: Selecteer alles

  1  2  3  4  5  6  7 => het aantal verschillende getallen er zijn

1 1  2  3  4  5  6  7 

2 1  3  6 10 15 21 28

3 1  4 10 20 35 56

4 1  5 15 35 70 126

5 1  6 21

6 1  7 28

||

hoe lang de serie is.

Code: Selecteer alles

Binomium van Newton



Het binomium van Newton is een wiskundige formule waarmee de macht van de som van twee grootheden kan worden uitgedrukt in een som van termen waarin de machten van de grootheden afzonderlijk voorkomen.







[bewerken]



Natuurlijke exponent



De eenvoudigste vorm is







 



waarbij n een natuurlijk getal is, en de getallen







 



de binomiaalcoëfficiënten.







Dit zijn de uitwerkingen voor n=2, n=3 en n=4:







 



 



 



Formule (1) geldt voor alle reële en complexe getallen x en y, en meer in het algemeen voor elk paar elementen x en y in een commutatieve ring.







Deze formule, en de rangschikking van binomiale coëfficiënten in een driehoek, worden vaak toegeschreven aan Blaise Pascal omdat die ze in de 17de eeuw beschreef. De formule was bij Chinese wiskundigen echter lang daarvoor al bekend.







[bewerken]



Algemene formule



Isaac Newton generaliseerde de formule voor andere exponenten, door het beschouwen van een oneindige reeks:







 



waarin r een willekeurig complex getal kan zijn (dus ook elk reëel getal; niet noodzakelijkerwijs positief of geheel), en waarbij de coëfficiënten gelijk zijn aan:







 



(wat in het geval van k = 0 een product van nul getallen is, en daarmee gelijk aan 1, en in het geval van k = 1 gelijk is aan r, aangezien dat in dat geval de enige term is).







De som in (2) convergeert, en de vergelijking geldt, wanneer de reële of complexe getallen x en y "dicht bijelkaar" liggen, wat wil zeggen dat de absolute waarde van hun deling (|x/y|) minder moet zijn dan 1.







Formule (2) geldt ook voor elk paar waarden x en y in een Banach-algebra mits: xy = yx, y inverteerbaar en ||x/y|| < 1.

Code: Selecteer alles

Driehoek van Pascal



De driehoek van Pascal is een rangschikking van de binomiaalcoëfficiënten  in rijen voor toenemende n beginnend met n=0 en op elke rij de n+1 binomiaalcoëfficiënten voor de mogelijke waarden van k. In de driehoek komt de eigenschap tot uitdrukking dat elke binomiaalcoëfficiënt de som is van de twee bovenliggende. De getallen in de driehoek geven het aantal wegen aan vanaf de top naar de plaats van zo'n getal, waarmee ook de besproken eigenschap verklaard is. Omdat er steeds 2 keuzen zijn om de weg naar onder te vervolgen is de som van de getallen op een rij de overeenkomstige macht van 2.



















                                       1



                                     1   1



                                   1   2   1



                                 1   3   3   1



                               1   4   6   4   1



                             1   5  10   10  5   1



                           1   6  15   20  15  6   1







De driehoek is combinatorisch van aard en werd door Pascal toegepast in het onderstaande probleem in de kansrekening bij het dobbelen.







Overigens ordende Pascal de getallen van de driehoek in een rechthoekig schema:







                           1   1   1   1   1   1   1



                           1   2   3   4   5   6



                           1   3   6  10  15



                           1   4  10  20



                           1   5  15



                           1   6                              



                           1   



  



en noemde het getal op het kruispunt van rij i en kolom j: cij, zodat







 



en de genoemde eigenschap luidt:







 















[bewerken]



"problème des partis"



Pascal ontwikkelde de naar hem genoemde getallendriehoek bij het oplossen van het zgn. "problème des partis"", het partijenprobleem. Dit probleem wordt al genoemd in een Italiaans geschrift uit 1380. Het luidt als volgt:







Twee partijen spelen een balspel. Beide partijen hebben gelijke kans te winnen. De partij die als eerste 6 keer heeft gewonnen, krijgt de pot van 60 dukaten. Om een of andere reden moet het spel afgebroken worden bij een stand van 5-3. Hoe moet de pot nu verdeeld worden?







De Italiaanse wiskundige Pacioli gaf in 1494 als oplossing dat de pot verdeeld moest worden in de verhouding 5:3, dus naar de stand bij afbreken. Een collega wiskundige, Cardano, meende echter dat men rekening moest houden met de winstkansen als verder zou worden gespeeld. Men kon in die tijd geen goede oplossing bedenken.







Pascal (1623 - 1662) kreeg het probleem, naast andere, voorgelegd door de Franse edelman Chevalier de Méré:







Twee spelers dobbelen om een inzet, zo dat wie het eerst drie partijen wint de pot krijgt. Het probleem was hoe de pot verdeeld moest worden waneer de wedstrijd voortijdig werd afgebroken. Pascal komt stap voor stap tot de algemene formulering voor elk spel, waarin bij afbreken de ene speler nog m keer moet winnen en de andere speler nog n keer om de pot te krijgen.







Zijn oplossing was: de pot moet verdeeld worden in de verhouding N : M van de winstkansen van de beide spelers bij de afbreekstand, waarin:







, de som van de eerste n getallen op de (m+n-1)-de rij (geteld vanaf rij 0) in de driehoek 



en







, de som van de laatste m getallen op die rij. 



Pascal noemde zijn ontdekking de géometrie du hasard (meetkunde van het toeval). De getallendriehoek als figuur was al eeuwen tevoren bekend bij onder meer enkele Chinese wiskundigen, maar de toepassing ervan in de kansrekening was Pascals ontdekking.