[wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

ceetn

Dag allen,

Ik vind het correcte antwoord maar niet op deze vraag, kan iemand me op weg helpen ?

Vraag : Stel een carthesische vergelijking op voor de cirkel die door de oorsprong gaat en raakt aan de rechte met de vergelijking y = x + 1 in het punt met eerste coordinaat 1. Doe dit in een orthonormaal assenstelsel.

oplossing: Hier mijn aanpak

Door de opgave krijg je 2 punten: ( 0,0 ) en ( 1,2 )

Aangezien een cirkel : ( x - x1 )^2 + ( y - y1 )^2 = R^2

kun je 2 vergelijkingen opstellen.

1) X1^2 + Y1^2 = R^2

2) ( 1 - X1 )^2 + ( 2 - Y1 )^2 = R^2

Door een tekening te maken dacht ik te kunnen afleiden dat het middelpunt van de cirkel op de rechte

y = -x + 3 moet liggen.

Dit geeft een 3de vergelijking:

(3) y1 = -x1 + 3 .

Dan probeerde ik dit stelsel van 3 vergelijkingen op te lossen door :

* (2) uit te werken

* ( 1) - ( 3 ) te doen

Dit geeft me 2 nieuwe vergelijkingen:

1) x1^2 + y1^2 - y1 - x1 + 3 = R^2

2) x1^2 + y1^2 - 4y1 - 2x1 - 3 = R^2

dan (1) - (2)

geeft : 3y1 + x1 + 6 = 0

ten slotte dan dit stelsel uitwerken

1) 3y1 + x1 + 6 = 0

2)y1 = - x1 + 3

wat geeft : x1 = 7/2

y1 = -9/2

de oplossing moet echter zijn : x^2 - 7x + y^2 + y = 0

Kan iemand dit wat verduidelijken aub ?

Hartelijk bedankt !!

Cedric

TD

Weet je hoe de vergelijking van de raaklijn in een punt (p,q) aan de cirkel met vergelijking (x-a)²+(y-b)² = r² eruit ziet?

ceetn

niet echt neen, ik zie ook niet direct waar ik dit gegeven hier zou kunnen gebruiken

TD

Met de gegevens zoals hier:

Weet je hoe de vergelijking van de raaklijn in een punt (p,q) aan de cirkel met vergelijking (x-a)²+(y-b)² = r² eruit ziet?

Is (x-a)(p-a)+(y-b)(q-b) = r² een vergelijking van de raaklijn ("ontdubbeling"), kende je die standaardvorm?

ceetn

TD schreef:Met de gegevens zoals hier:

Is (x-a)(p-a)+(y-b)(q-b) = r² een vergelijking van de raaklijn ("ontdubbeling"), kende je die standaardvorm?

Eerlijk gezegd, eerste keer dat ik deze vorm tegenkom.

TD

Op welke manier bepaal jij de vergelijking van de raaklijn aan een cirkel? Wat is jullie methode?

ceetn

t'is een eindje geleden dat ik de cirkel heb gezien in school ( nu in mijn 1ste jaar geneeskunde aan unief ).

K' herinner me niet zo heel veel van de raaklijnen aan cirkels bepalen.

Het zou dus best kunnen dat we die formule toch gezien hebben.

Maar waar ergens in de oefening is deze formule nuttig ?

Ik zie niet echt mijn fout in mijn uitwerking.

Alvast bedankt voor de reacties

TD

De cirkel heeft drie onbekenden (coördinaten van het middelpunt en de straal), je hebt dus drie gegevens nodig om dit te bepalen. Die heb je ook: namelijk het punt (0,0), het punt (1,2) en het feit dat de cirkel in (1,2) rakend is aan de gegeven rechte. Ook dit laatste gegeven zal je moeten gebruiken en daarvoor moet je dus op een of andere manier iets weten over raaklijnen aan cirkels. Bijvoorbeeld die standaadvergelijking die ik gaf, of iets anders... Het kan ook zonder, maar dat is wat vervelender rekenwerk.

ceetn

De cirkel heeft drie onbekenden (coördinaten van het middelpunt en de straal), je hebt dus drie gegevens nodig om dit te bepalen. Die heb je ook: namelijk het punt (0,0), het punt (1,2) en het feit dat de cirkel in (1,2) rakend is aan de gegeven rechte. Ook dit laatste gegeven zal je moeten gebruiken en daarvoor moet je dus op een of andere manier iets weten over raaklijnen aan cirkels. Bijvoorbeeld die standaadvergelijking die ik gaf, of iets anders... Het kan ook zonder, maar dat is wat vervelender rekenwerk.

hm, dus je krijgt dan de 3 vergelijkingen, die je moet uitwerken:

1) a^2 + b^2 = r^2

2) ( 1 - a )^2 + ( 2 - b )^2 = r^2

3) ( x - a ) ( 1 - a ) + ( y - b ) ( 2 - b )= r^2

klopt dit ?

TD

Ongeveer... In je derde vergelijking zitten nu eigenlijk al twee gegevens: dat (1,2) op de cirkel ligt en dat de cirkel daar raakt aan de rechte met deze vergelijking. Je vergelijking 2 is dus overbodig, maar 3 moet je nog wat "herwerken" om te kunnen gebruiken. Los op naar y (dus y=mx+q) en stel dan m en q gelijk aan wat de vergelijking moet zijn (die is namelijk gegeven: y=x+1). Hier haal je dus twee vergelijkingen uit, jouw nummer 1 is de derde.

ceetn

Ongeveer... In je derde vergelijking zitten nu eigenlijk al twee gegevens: dat (1,2) op de cirkel ligt en dat de cirkel daar raakt aan de rechte met deze vergelijking. Je vergelijking 2 is dus overbodig, maar 3 moet je nog wat "herwerken" om te kunnen gebruiken. Los op naar y (dus y=mx+q) en stel dan m en q gelijk aan wat de vergelijking moet zijn (die is namelijk gegeven: y=x+1). Hier haal je dus twee vergelijkingen uit, jouw nummer 1 is de derde.

Hoe begin je precies met die 3de vergelijking te herwerken naar y?

Aan wat precies stel je die m en q dan gelijk en waarom ?

sorry als mijn vragen wat simpel zijn, maar het is een hele poos geleden dat ik nog met wiskunde ben bezig geweest

TD

We hebben dus (x-a)(1-a)+(y-b)(2-b)=r² als vergelijking van de raaklijn aan de cirkel in het punt (1,2). Maar de vergelijking van de raaklijn is gegeven, namelijk y=x+1. Je moet deze twee dus aan elkaar gelijkstellen. Om ze goed te kunnen "vergelijken" stelde ik voor de eerste vergelijking ook op te lossen naar y. Je hebt dan iets van de vorm y=mx+q, dus moet m=1 en q=1 zijn opdat je de rechte y=x+1 hebt.

ceetn

We hebben dus (x-a)(1-a)+(y-b)(2-b)=r² als vergelijking van de raaklijn aan de cirkel in het punt (1,2). Maar de vergelijking van de raaklijn is gegeven, namelijk y=x+1. Je moet deze twee dus aan elkaar gelijkstellen. Om ze goed te kunnen "vergelijken" stelde ik voor de eerste vergelijking ook op te lossen naar y. Je hebt dan iets van de vorm y=mx+q, dus moet m=1 en q=1 zijn opdat je de rechte y=x+1 hebt.

ok, dit snap ik.

Maar nu dit nog; als ik die 3de vergelijking probeer uit te werken naar y krijg ik niet echt iets van de vorm y = mx + q.

Waarschijnlijk is mijn uitwerking wel mis:

Dit is hoe ik het deed --> eerst distributiviteit toepassen en de haakjes uitwerken

--> daarna trachten voorop te plaatsen

dan krijg ik

y(2-b) = -x(1-a) - a(-1+a) - b(-2+b) + r^2.

kLopt dit een beetje ? en kunt u me hiermee nog mee helpen ?

Merci !! !!

TD

ceetn schreef:dan krijg ik

y(2-b) = -x(1-a) - a(-1+a) - b(-2+b) + r^2.

Prima, nu delen door (2-b) en je hebt toch y? Dus:

\(y = \frac{{a - 1}}{{2 - b}}x + \frac{{a - {a^2} + 2b - {b^2} + {r^2}}}{{2 - b}}\)

Je kan nog wat vereenvoudigen, want je eerste vergelijking was a²+b²=r², dus:

\(y = \frac{{a - 1}}{{2 - b}}x + \frac{{a + 2b}}{{2 - b}}\)

Zie je nu wel de vorm y=mx+q? Stel m en q nu gelijk aan 1, dat zijn twee vergelijkingen.

ceetn

Super !

Hartelijk bedankt en merci voor het geduld

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

[wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel

Re: [wiskunde] vergelijking bepalen cirkel