Springen naar inhoud

[wiskunde] bewijs bij vierhoek


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Patriick

    Patriick


  • >25 berichten
  • 76 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2009 - 12:51

Oke, ik heb weer hulp nodig en deze is echt moeilijk. Bij de vorige opgave had ik nog enig idee hoe ik moest beginnen, maar hier weet ik echt geen raad. Het zit zo:

Geplaatste afbeelding

Gegeven is een willekeurige vierhoek ABCD. AGD, DCF, CBE en ABH zijn gelijkzijdige driehoeken. S1 is het snijpunt met de lijn GE en de omschreven cirkel van AGD. S2 is het snijpunt met de lijn GE en de omschreven cirkel van CBE.
Te bewijzen: AD + AB + AC > AS1 + BS2 + DS1 + S1S2

Enig idee iemand?

Alvast bedankt!

Patrick

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Patriick

    Patriick


  • >25 berichten
  • 76 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2009 - 15:09

Ik hoop maar dat t niet weer 4-5 dagen gaat duren voordat ik een reactie krijg..
Niet slecht bedoeld hoor! Maar mijn toets is over 2 dagen. =D>

#3

Korot

    Korot


  • >250 berichten
  • 419 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2009 - 15:57

Mijn eerste advies: Teken de lijnen AS1, BS2 en DS1. Teken vervolgens een cirkel met middelpunt A en r=AD, en teken de lijn AD' met D' op deze cirkel. Misschien dat dat je verder helpt.
Kijk ook eens op het Distributed Computing forum en doe mee met BOINC!
http://www.wetenscha...hp?showforum=59

#4

Patriick

    Patriick


  • >25 berichten
  • 76 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2009 - 16:26

Geplaatste afbeelding

Bedoel je zo?
Maar dan snap ik nog steeds niet wat ik hiermee moet doen? Het enige wat ik hieruit kan opmaken is dat AS1 + DS1 > AD.. (ik heb in de tekening de omschreven cirkel van GDA weggelaten).

Oh, ik heb een typo gemaakt..
Te bewijzen is niet AD + AB + AC > AS1 + BS2 + DS1 + S1S2
maar AD + AB + BC > AS1 + DS1 + CS2 + BS2 + S1S2!!!

Veranderd door Patriick, 04 mei 2009 - 16:36


#5

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2009 - 19:17

Gelijkzijdige driehoek => AD = GA en BC = BE.

Dus te bewijzen is dat GA + AB + BE > ...,

maar GA + AB + BE is alvast groter dan GE = GS1 + S1S2 + S2E.

Als AD en BC evenwijzig zouden zijn, was 't daarmee opgelost ( som van de koorden < 2*straal).
Indien niet, zie ik 't ook niet meteen..

Veranderd door yoralin, 04 mei 2009 - 19:27


#6

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2009 - 20:38

OK (als ik geen rekenfouten gemaakt heb) :

in de cirkel waarop A, G, D en S1 liggen is
de hoek tussen AS1 en GS1 gekend (boog op de koorde AG),
zo ook voor deze tussen DS1 en GS1.

Pas nu de cosinusregel toe voor |AG| in de driehoek AGS1,
zo ook voor |DG| in DGS1...

#7

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2009 - 05:53

of vorige post eleganter :
gebruik de stelling van Ptolemaeus voor de koordenvierhoek AGDS1.
en vereenvoudig, want AGD is gelijkzijdig.

Mooie oefening !

Veranderd door yoralin, 05 mei 2009 - 05:54


#8

Patriick

    Patriick


  • >25 berichten
  • 76 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2009 - 14:11

Sorry, maar ik snap het nog steeds niet? :P

Als ik de stelling van Ptolemaeus gebruik krijg ik dus:
AGDS1 + GDAS1 = GS1AD
En dat is hetzelfde als: AD(DS1 + AS1) = ADGS1.
Dan krijg ik DS1 + AS1 = GS1.

Hetzelfde kan ik bij de koordenvierhoek S2BEC doen:
BS2CE + S2CBE = S2EBC
En dat is hetzelfde als: BC(BS2 + C2S) = BCS2E
Dan krijg ik BS2 + C2S = S2E

Ik weet echt niet hoe ik nu verder moet? En hoe moet ik de cosinusregel gebruiken als ik geeneens getallen heb? En ik ken de waarden van de hoeken niet? ;)

#9

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2009 - 17:08

Wat we al hadden :
AD + AB + AC = GA + AB + BE > GE.

Het volstaat dus om aan te tonen dat
GE = GS1 + S1S2 + S2E >= AS1 + DS1 + CS2 + BS2 + S1S2.

of (hoera, S1S2 valt al weg) :

GS1 + S2E >= AS1 + DS1 + CS2 + BS2.

We kunnen zelfs aantonen dat GS1 + S2E = AS1 + DS1 + CS2 + BS2 !

Via Ptolemaeus heb je dit ook al gevonden.

Ik had 't eerst via de cosinusregel gezien :
in de driehoek met hoekpunten A, S1 en G is de hoek tussen AS1 en S1G = 60, want dat is een omtrekshoekhoek op de boog AG (van de cirkel waarop A,S1,D en G liggen), net zoals de hoek tussen AD en DG een omtrekshoek op AD is en die is natuurlijk 60.

Dus :
|AG|^2 = |AS1|^2 + |S1G|^2 - 2*cos(60)|AS1|.|S1G|.
Zo ook :
|DG|^2 = |DS1|^2 + |S1G|^2 - 2*cos(60)|DS1|.|S1G|.

|AG|^2 = |DG|^2, zodat
|AS1|^2 + |S1G|^2 - |AS1|.|S1G| = |DS1|^2 + |S1G|^2 - |DS1|.|S1G|, of
|AS1|^2 - |AS1|.|S1G| = |DS1|^2 - |DS1|.|S1G|, of
|AS1|^2 - |DS1|^2 = |S1G|.(|AS1| - |DS1|), dus
|AS1| + |DS1| = |S1G|, als |AS1|<>|DS1|, maar als die gelijk zijn, zijn 't zijden van een regelmatige zeshoek en is S1G een middelijn, dus dan is die gelijkheid ook in orde.

Veranderd door yoralin, 05 mei 2009 - 17:09


#10

Patriick

    Patriick


  • >25 berichten
  • 76 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2009 - 17:35

Heel, heel, heel, heel erg bedankt voor je geduld en superuitleg! Ik snap het eindelijk! ;)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures