Springen naar inhoud

Convexe verzamelingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

proto-guybaa2

    proto-guybaa2


  • >25 berichten
  • 86 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2009 - 14:18

Ik heb een vraag over convexe verzamelingen. Stel er zijn 2 convexe verzamelingen. Ik weet dat de doorsnede van die twee verzamelingen ook convex is. Daar heb ik een bewijs van gezien. Maar de vereniging van 2 convexe verzamelingen hoeft daarentegen niet convex te zijn. Dat kun je makkelijk illustreren aan de hand van venndiagrammen. Maar mijn vraag is hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex is?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 mei 2009 - 14:24

Maar mijn vraag is hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex is?

Ik neem aan dat je bedoelt: hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex hoeft te zijn?
Dan:

Door een tegenvoorbeeld te geven.

Verborgen inhoud
in LaTeX is de x-as convex, en de y-as convex, maar de vereniging van de x- en y-as duidelijk niet.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

proto-guybaa2

    proto-guybaa2


  • >25 berichten
  • 86 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2009 - 11:34

Slim bedacht! Was ik zelf nooit opgekomen. Weet je misschien nog een tegenvoorbeeld?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 mei 2009 - 12:24

De vereniging hoeft niet eens samenhangend te zijn! Neem twee disjuncte verzamelingen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

proto-guybaa2

    proto-guybaa2


  • >25 berichten
  • 86 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 mei 2009 - 16:50

Ik neem aan dat je bedoelt: hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex hoeft te zijn?
Dan:

Door een tegenvoorbeeld te geven.

Verborgen inhoud
in LaTeX is de x-as convex, en de y-as convex, maar de vereniging van de x- en y-as duidelijk niet.


Ik geloof dat dit een geldig tegenvoorbeeld is. Maar ik kan me het niet visueel voorstellen. Door welke punten kan geen rechte lijn worden getrokken die punten bevat die niet niet in de vereniging van de x-as en y-as? En is de vereniging vande x as en y as niet hetzelfde als het cartetisch product?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 mei 2009 - 17:41

Maar ik kan me het niet visueel voorstellen. Door welke punten kan geen rechte lijn worden getrokken die punten bevat die niet niet in de vereniging van de x-as en y-as?

Teken een assenstelsel met x- en y-as. Neem (1,0) op de x-as en (0,1) op de y-as, verbind deze punten... Ligt die hele lijn "binnen de verzameling" gevormd door de x- en y-as? Besef dat dit alleen de punten op de x- en y-as zijn, niet het hele vlak...! Want:

En is de vereniging vande x as en y as niet hetzelfde als het cartetisch product?

Nee, dit is wel het hele vlak.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 mei 2009 - 18:44

Aanvullend op TD:

En is de vereniging vande x as en y as niet hetzelfde als het cartetisch product?

Weet je wat de vereniging van twee verzamelingen betekent? De vereniging van de x-as en y-as is simpelweg de x-as Ún de y-as samen. In verzamelingentaal: We werken in het het vlak LaTeX .
De x-as is de deelverzameling LaTeX
De y-as is de deelverzameling LaTeX
De vereniging is simpelweg LaTeX . Dus een punt in het vlak zit in de vereniging dan en slechts dan als het op de x-as of op de y-as ligt.

Ik geloof dat dit een geldig tegenvoorbeeld is. Maar ik kan me het niet visueel voorstellen. Door welke punten kan geen rechte lijn worden getrokken die punten bevat die niet niet in de vereniging van de x-as en y-as?

Stel je trekt de lijn zoals TD voorstelde, dus door de punten (1,0) en (0,1). Zie je dat die punten inderdaad in de vereniging behoren? De lijn zal dan ook door bijv. het punt LaTeX gaan. Ik hoop dat je inziet dat dit punt niet op de x-as of y-as ligt. Ergo: dit punt zit niet in de vereniging.

Als je een plaatje maakt zie je het direct.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#8

proto-guybaa2

    proto-guybaa2


  • >25 berichten
  • 86 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 mei 2009 - 11:05

Nu bgrijp ik het helemaal ;)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures