Convexe verzamelingen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 86

Convexe verzamelingen

Ik heb een vraag over convexe verzamelingen. Stel er zijn 2 convexe verzamelingen. Ik weet dat de doorsnede van die twee verzamelingen ook convex is. Daar heb ik een bewijs van gezien. Maar de vereniging van 2 convexe verzamelingen hoeft daarentegen niet convex te zijn. Dat kun je makkelijk illustreren aan de hand van venndiagrammen. Maar mijn vraag is hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex is?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Convexe verzamelingen

Maar mijn vraag is hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex is?
Ik neem aan dat je bedoelt: hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex hoeft te zijn?

Dan:

Door een tegenvoorbeeld te geven.

Verborgen inhoud
in
\(\rr^2\)
is de x-as convex, en de y-as convex, maar de vereniging van de x- en y-as duidelijk niet.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Berichten: 86

Re: Convexe verzamelingen

Slim bedacht! Was ik zelf nooit opgekomen. Weet je misschien nog een tegenvoorbeeld?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Convexe verzamelingen

De vereniging hoeft niet eens samenhangend te zijn! Neem twee disjuncte verzamelingen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 86

Re: Convexe verzamelingen

Phys schreef:Ik neem aan dat je bedoelt: hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex hoeft te zijn?

Dan:

Door een tegenvoorbeeld te geven.

Verborgen inhoud
in
\(\rr^2\)
is de x-as convex, en de y-as convex, maar de vereniging van de x- en y-as duidelijk niet.
Ik geloof dat dit een geldig tegenvoorbeeld is. Maar ik kan me het niet visueel voorstellen. Door welke punten kan geen rechte lijn worden getrokken die punten bevat die niet niet in de vereniging van de x-as en y-as? En is de vereniging vande x as en y as niet hetzelfde als het cartetisch product?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Convexe verzamelingen

Maar ik kan me het niet visueel voorstellen. Door welke punten kan geen rechte lijn worden getrokken die punten bevat die niet niet in de vereniging van de x-as en y-as?
Teken een assenstelsel met x- en y-as. Neem (1,0) op de x-as en (0,1) op de y-as, verbind deze punten... Ligt die hele lijn "binnen de verzameling" gevormd door de x- en y-as? Besef dat dit alleen de punten op de x- en y-as zijn, niet het hele vlak...! Want:
En is de vereniging vande x as en y as niet hetzelfde als het cartetisch product?
Nee, dit is wel het hele vlak.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Convexe verzamelingen

Aanvullend op TD:
En is de vereniging vande x as en y as niet hetzelfde als het cartetisch product?
Weet je wat de vereniging van twee verzamelingen betekent? De vereniging van de x-as en y-as is simpelweg de x-as én de y-as samen. In verzamelingentaal: We werken in het het vlak
\(\rr^2\)
.

De x-as is de deelverzameling
\(X=\{(x,y)\in\rr^2|y=0\}\subset\rr^2\)
De y-as is de deelverzameling
\(Y=\{(x,y)\in\rr^2|x=0\}\subset\rr^2\)
De vereniging is simpelweg
\(X\cup Y=\{(x,y)\in\rr^2|x=0 \mbox{ of }y=0\}\)
. Dus een punt in het vlak zit in de vereniging dan en slechts dan als het op de x-as of op de y-as ligt.
Ik geloof dat dit een geldig tegenvoorbeeld is. Maar ik kan me het niet visueel voorstellen. Door welke punten kan geen rechte lijn worden getrokken die punten bevat die niet niet in de vereniging van de x-as en y-as?
Stel je trekt de lijn zoals TD voorstelde, dus door de punten (1,0) en (0,1). Zie je dat die punten inderdaad in de vereniging behoren? De lijn zal dan ook door bijv. het punt
\(\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
gaan. Ik hoop dat je inziet dat dit punt niet op de x-as of y-as ligt. Ergo: dit punt zit niet in de vereniging.

Als je een plaatje maakt zie je het direct.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -

Berichten: 86

Re: Convexe verzamelingen

Nu bgrijp ik het helemaal ;)

Reageer