Convexe verzamelingen
-
- Berichten: 86
Convexe verzamelingen
Ik heb een vraag over convexe verzamelingen. Stel er zijn 2 convexe verzamelingen. Ik weet dat de doorsnede van die twee verzamelingen ook convex is. Daar heb ik een bewijs van gezien. Maar de vereniging van 2 convexe verzamelingen hoeft daarentegen niet convex te zijn. Dat kun je makkelijk illustreren aan de hand van venndiagrammen. Maar mijn vraag is hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex is?
- Berichten: 7.556
Re: Convexe verzamelingen
Ik neem aan dat je bedoelt: hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex hoeft te zijn?Maar mijn vraag is hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex is?
Dan:
Door een tegenvoorbeeld te geven.
Verborgen inhoud
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 86
Re: Convexe verzamelingen
Slim bedacht! Was ik zelf nooit opgekomen. Weet je misschien nog een tegenvoorbeeld?
- Berichten: 24.578
Re: Convexe verzamelingen
De vereniging hoeft niet eens samenhangend te zijn! Neem twee disjuncte verzamelingen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 86
Re: Convexe verzamelingen
Ik geloof dat dit een geldig tegenvoorbeeld is. Maar ik kan me het niet visueel voorstellen. Door welke punten kan geen rechte lijn worden getrokken die punten bevat die niet niet in de vereniging van de x-as en y-as? En is de vereniging vande x as en y as niet hetzelfde als het cartetisch product?Phys schreef:Ik neem aan dat je bedoelt: hoe bewijs je dat de vereniging van 2 convexe verzamelingen niet convex hoeft te zijn?
Dan:
Door een tegenvoorbeeld te geven.
Verborgen inhoud
- Berichten: 24.578
Re: Convexe verzamelingen
Teken een assenstelsel met x- en y-as. Neem (1,0) op de x-as en (0,1) op de y-as, verbind deze punten... Ligt die hele lijn "binnen de verzameling" gevormd door de x- en y-as? Besef dat dit alleen de punten op de x- en y-as zijn, niet het hele vlak...! Want:Maar ik kan me het niet visueel voorstellen. Door welke punten kan geen rechte lijn worden getrokken die punten bevat die niet niet in de vereniging van de x-as en y-as?
Nee, dit is wel het hele vlak.En is de vereniging vande x as en y as niet hetzelfde als het cartetisch product?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 7.556
Re: Convexe verzamelingen
Aanvullend op TD:
De x-as is de deelverzameling
Als je een plaatje maakt zie je het direct.
Weet je wat de vereniging van twee verzamelingen betekent? De vereniging van de x-as en y-as is simpelweg de x-as én de y-as samen. In verzamelingentaal: We werken in het het vlakEn is de vereniging vande x as en y as niet hetzelfde als het cartetisch product?
\(\rr^2\)
.De x-as is de deelverzameling
\(X=\{(x,y)\in\rr^2|y=0\}\subset\rr^2\)
De y-as is de deelverzameling \(Y=\{(x,y)\in\rr^2|x=0\}\subset\rr^2\)
De vereniging is simpelweg \(X\cup Y=\{(x,y)\in\rr^2|x=0 \mbox{ of }y=0\}\)
. Dus een punt in het vlak zit in de vereniging dan en slechts dan als het op de x-as of op de y-as ligt.Stel je trekt de lijn zoals TD voorstelde, dus door de punten (1,0) en (0,1). Zie je dat die punten inderdaad in de vereniging behoren? De lijn zal dan ook door bijv. het puntIk geloof dat dit een geldig tegenvoorbeeld is. Maar ik kan me het niet visueel voorstellen. Door welke punten kan geen rechte lijn worden getrokken die punten bevat die niet niet in de vereniging van de x-as en y-as?
\(\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
gaan. Ik hoop dat je inziet dat dit punt niet op de x-as of y-as ligt. Ergo: dit punt zit niet in de vereniging.Als je een plaatje maakt zie je het direct.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -