[wiskunde]Limietgeval exponentiele

M.B.

Wat is de limiet hiervan?

\(\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n}\)

Je kan het natuurlijk voor grote n in een rekentoestel ingeven en dan blijkt het 1 te worden.

Maar is er een manier om dit wiskundig rigoureus aan te tonen?

jhnbk

Bereken eens wat de logaritme van die limiet is?

Dit onderwerp past beter in het huiswerkforum en is daarom verplaatst.

M.B.

Ik neem aan dat je de limiet van de logaritme van die uitdrukking wil zeggen.

Anyway:

\(\lim_{n\rightarrow \infty}\ln\left(\frac{1}{n}\right)^{1/n} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\ln\left(\frac{1}{n}\right)}{n}\)

Dit levert oneindig/oneindig dus pas ik l'hopital toe (teller en noemer apart afleiden en terug de limiet nemen)

\(=\lim_{n\rightarrow \infty}-\frac{1}{n}&=&0\crcr\)

Exponentiele van beide leden nemen levert het gesuggereerde resultaat.

Liggen er voorwaarden op het nemen van de limiet van de logaritme van de functie? Mag dit bv enkel wanneer de limiet eindig is (0 in dit geval).

Phys

Ik neem aan dat je de limiet van de logaritme van die uitdrukking wil zeggen.

Maakt dat uit? (hint)

Trouwens, in je eerste bericht vroeg je om de limiet van een limiet te berekenen, dat is een beetje vreemd =D>

De limiet

\(\lim_{n\to\infty }\frac{\log n}{n}=0\)

is overigens een standaardlimiet (informeel: "machtsfunctie wint het van logaritme")

Samen met

\(\log(1/n)=-\log n\)

geeft dit dus de gevraagde limiet (zonder l'Hopital).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde]Limietgeval exponentiele

[wiskunde]Limietgeval exponentiele

Re: [wiskunde]Limietgeval exponentiele

Re: [wiskunde]Limietgeval exponentiele

Re: [wiskunde]Limietgeval exponentiele