Topologie; gesloten verzamelingen
-
- Berichten: 86
Topologie; gesloten verzamelingen
Laat f: R pijl naar rechts R gegeven zijn door f(x)=x/absolute waarde van x, als x ongelijk aan 0 en f(0)=0. Is de verzameling f^-1([1/2,oneindig)) gesloten?
Let wel f^-1 is het inverse beeld en niet inverse functie. Wat ik zelf denk is dat [1/2,oneindig) gesloten is. bevat namelijk alle randpunten. Het inverse beeld is dan ook gesloten mits f(x) continu is. Maar daar heb ik mijn twijfels over. Heeft iemand een plaatje van deze funcite voor me? Mocht de de functie niet continu zijn, waar is hij dan niet continu?
Let wel f^-1 is het inverse beeld en niet inverse functie. Wat ik zelf denk is dat [1/2,oneindig) gesloten is. bevat namelijk alle randpunten. Het inverse beeld is dan ook gesloten mits f(x) continu is. Maar daar heb ik mijn twijfels over. Heeft iemand een plaatje van deze funcite voor me? Mocht de de functie niet continu zijn, waar is hij dan niet continu?
- Berichten: 7.556
Re: Topologie; gesloten verzamelingen
Correct.Let wel f^-1 is het inverse beeld en niet inverse functie. Wat ik zelf denk is dat [1/2,oneindig) gesloten is. bevat namelijk alle randpunten. Het inverse beeld is dan ook gesloten mits f(x) continu is.
Kom op, dat plaatje kun je zelf wel makenMaar daar heb ik mijn twijfels over. Heeft iemand een plaatje van deze funcite voor me? Mocht de de functie niet continu zijn, waar is hij dan niet continu?
Wat is x/|x| voor x>0? Wat voor x<0? Hieruit zie je dat f discontinu is in 0, maar dat is niet relevant voor de vraag: f is continu op
\(\left[\frac{1}{2},\infty\right[=f^{-1}\left(\left[\frac{1}{2},\infty\right[\right)\)
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Berichten: 86
Re: Topologie; gesloten verzamelingen
Ja ik zie het nu gewoon een rechte lijn door 1 en -1 toch?
- Berichten: 7.556
Re: Topologie; gesloten verzamelingen
Juist, f(x)=1 voor x>0, f(x)=-1 voor x<0. Zie je wat dat betekent voor continuïteit, en het antwoord op de vraag?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
- Berichten: 24.578
Re: Topologie; gesloten verzamelingen
Inderdaad, dit is een manier om de functie sgn(x) te schrijven - zie hier, ook voor een plaatje.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)