Lastige integraal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 165

Lastige integraal

Afgesplitst uit integreren voor gevorderden:

Een nieuwe (volgens mij iets met 3N dimensionale bollen op te lossen ofzo) maar ik weet het dus niet
\(I = \int d\mathbf{u_1}\ldots\int d\mathbf{u_{3N}} \int d\mathbf{v_1}\ldots\int d\mathbf{v_{3N}}\delta\left(U-\sum_{i=1}^{3N}\left(|\mathbf{u_i}|^2+|\mathbf{v_i}|^2\right)\right)\)
Vetgedrukt maakt duidelijk dat het om vectoren gaat.

Ik wou
\(u_i^2+v_i^2=r_i^2\)
stellen en overgaan op een straal van een 3N dimensionale bol of iets dergelijks.

Maar dan nog blijft de delta functie niet factoriseerbaar vermits er nog steeds een som instaat, denk ik.

Berichten: 194

Re: Lastige integraal

Schets : neem bolcoördinaten op
\(R^{6N}\)
.

Dan is de Jacobiaan =
\(\rho^{6N-1} \)
* (wat goniometrische functies).

Als je die Jacobiaan over een bol met middelpunt de oorsprong en straal r integreert, krijg je
\(\int_{0}^{r} \rho^{6N-1}d\rho\)
* (integraal over hoeken).

Die integraal over de hoeken geeft de oppervlakte van de (6N-1)-dim eenheidssfeer

(bvb. 4/3 pi r^3 = (r^3 / 3) * (4 * pi * 1^2).

Voor je opgave :

Verborgen inhoud
.. = (opp. van de (6N-1)-dim eenheidssfeer) *
\(\int \delta(U - \rho^2) \rho^{6N-1}d\rho\)
.

Reageer