[wiskunde] aantonen ongelijkheid

Heezen

Beste WSF'ers,

Hier kom ik weer met een lastige opgave; Onderdeel 5.7.12e, aantonen van de ongelijkheid. ( de vorige delen zijn niet zo moeilijk).

Het wil maar niet lukken. Iemand die een hint zou kunnen geven?

http://www.math.uu.nl/people/kuznet/CA4/sec5.7.pdf

bvd,

Heezen

yoralin

Hint : gebruik (5.7.1) :

\(|z(x) - \rho\sin(x+\theta)| = | \int_x^{\infty} \sin(x-\xi) \dfrac{\mu}{\xi^2} z(\xi) d\xi|.\)

Vind de bovengrens

Verborgen inhoud

voor het rechterlid.

Heezen

Aargh

, ik kom er gewoon niet uit

U zou me een groot plezier kunnen doen door wat duidelijker te zeggen hoe het moet..

yoralin

Uit (5.7.1) :

\(|z(x) - \rho\sin(x+\theta)| = | \int_x^{\infty} \sin(x-\xi) \dfrac{\mu}{\xi^2} z(\xi) d\xi|.\)

Het rechterlid, RL, is

\( RL = | \int_x^{\infty} \sin(x-\xi) \dfrac{\mu}{\xi^2} z(\xi) d\xi| \leq \int_x^{\infty} | \sin(x-\xi) \dfrac{\mu}{\xi^2} z(\xi) | d\xi \)

Aangezien

\(\sin (...) \leq 1 \)

en

\(|z(\xi)| \leq \sup_{t\geq x}|z(t)| \leq \sup_{t\geq a}|z(t)|\)

:

\( RL \leq \mu \sup_{t\geq a}|z(t)| \int_x^{\infty} \dfrac{1}{\xi^2} d\xi = \mu \sup_{t\geq a}|z(t)| \cdot (1/x) \leq \mu \sup_{t\geq a}|z(t)| \cdot (1/a) \)

(want

\(a \leq x\)

). Enfin,

\( z(x) = \rho\sin(x+\theta) + ... \leq \rho + (\mu/a) \sup_{t\geq a}|z(t)|\)

.

Beide termen in 't laatste lid van de lijn hierboven zijn positief, zodat

\( |z(x)| \leq \rho + (\mu/a) \sup_{t\geq a}|z(t)|\)

Neem 't supremum over

\(x \geq a\)

:

\( S \leq \rho + (\mu/a) S \)

, en ziedaar :

\( (1-(\mu/a))S \leq \rho \)

.

Heezen

Woow;

Bedankt!

Het gebruik van de driehoeksongelijkheid voor integralen kwam ik al op, - evenals de klassieke benadering |sin(..)|<=1.. eigenlijk was die helemaal niet zo moeilijk..

Maar ja, dat zeg ik altijd bij wiskunde sommen

Heezen

Hmm, - b) lukt me toch niet.. Het deel met variatie van constanten.. Iemand die een idee heeft?

yoralin

Dat is is de gebruikelijke werkwijze toepassen :

de oplossing van de homogene is z(x) = c₁ cos(x) + c₂ sin(x).

(of net zo goed c₃ cos(x-a) + c₄ sin(x-a), waarmee c₃ = z(a) en c₄ = z'(a) afgelezen kunnen worden als we opleggen dat de particuliere oplossing y_p(a) = 0 = y_p'(a) heeft).

Enfin, eerst op zoek naar y_p(x) = f₁(x) cos(x) + f₂(x) sin(x).

We krijgen het stelsel

(1) f₁'(x) cos(x) + f₂'(x) sin(x) = 0;

(2) -f₁'(x) sin(x) + f₂'(x) cos(x) = \mu z(x) /x^2

(1) eisen we gewoonlijk bij var.v/d constanten; (2) vinden we door y_p(x) in te vullen in de diff.vgl.

Oplossen :

\( f_1(x) = \int_a^{x} \dfrac{\mu}{\xi^2}\sin \xi d\xi\)

en

\( f_2(x) = ... \)

.

Kortom : y_p(x) = cox(x) * (een integraal met \sin \xi in de integrand) + sin(x) * (een integraal met - \cos \xi in de integrand)

en dit kan korter opgeschreven worden als y_p(x) = een integraal met sin (x-\xi) in de integrand.

Bij deze particulere opl. is inderdaad z(a) = 0 = z'(a).

Heezen

Bedankt,- alleen, bij f1(x) heb je de z(\chi) term vergeten lijkt het me wel..

Verder; kunt U motiveren waarom we (1) "gewoonlijk" eisen bij var. van constanten?

yoralin

z(\xi) was ik inderdaad vergeten.

Die gewoonte bij var. v/d constanten is om dat stelsel gemakkelijk te kunnen oplossen :

de oplossing van AX = B met X = (x₁,...,x_n) is x_i = det(M_i)/(det A),

waarbij de matrix M_i = A waarin de i-de kolom vervangen werd door B. (Als det(A) niet nul is..)

Als er in B zo veel mogelijk nullen staan, zijn die eenvoudiger te berekenen.

Bij een n-de orde lineaire diff.vgl. is de algemene oplossing van de homogene diff.vgl. een lineaire combinatie van y₁,...,y_n, waarbij y₁,...,y_n lin.onafh. zijn.

Dan eisen we dat de (n-1) vergelijkingen

\( \sum_{i=1}^{n}\phi_i'(x) y_i^{(k)}(x) = 0\)

(k=0,...,n-2)

en de laatste

\( \sum_i \phi_i'(x) y_i^{(n-1)}(x) = (1/a_n(x)) \cdot R =: S\)

, met a_n(x) de coëff. die bij y^{(n)} stond en R het rechterlid van de diff.vgl. (als die in de standaardvorm geschreven wordt...).

De determinant van het stelsel is de Wronskiaan W = W(y_1,...,y_n) [en die functie is nooit nul als de y_k lin. onafh. opl. zijn van zo'n diff.vgl.] en de oplossingen

\( \phi_i'(x) = \dfrac{...}{W} = S\cdot \frac{T}{W}\)

,

waarin de teller T = de Wronkiaan van de y_1, ..., y_n waarin y_i ontbreekt.

(De M_i, R, S en T zijn natuurlijk m'n eigen notaties; de W is "officieel".)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] aantonen ongelijkheid

[wiskunde] aantonen ongelijkheid

Re: [wiskunde] aantonen ongelijkheid

Re: [wiskunde] aantonen ongelijkheid

Re: [wiskunde] aantonen ongelijkheid

Re: [wiskunde] aantonen ongelijkheid

Re: [wiskunde] aantonen ongelijkheid

Re: [wiskunde] aantonen ongelijkheid

Re: [wiskunde] aantonen ongelijkheid

Re: [wiskunde] aantonen ongelijkheid