Moderators: dirkwb , Xilvo
Berichten: 165
Hoe los je onderstaande differentiaalvergelijking ook alweer op?
\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{1}{x}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{f}{x^2}=0\Rightarrow f(x)=?\)
Was er niets met een zogenoemde integrerende factor?
Levert de voorfactor bij de eerste afgeleide (die zelf een veranderlijke is) geen problemen op?
Berichten: 165
Werkt inderdaad, bedankt.
Oplossing voor de geïnteresseerden:
\(f(x) = c_1x+\frac{c_2}{x}\)
Berichten: 194
M.B. schreef: Oplossing voor de geïnteresseerden:
\(f(x) = c_1x+\frac{c_2}{x}\)
Euh, toch niet van die opgave (+ in de opgave bij f(x)/x^2 zal een - geweest zijn ?).
\(m(m-1) + m + 1 = m^2 + 1 = 0\)
, dus
\( m = \pm i\)
en
\( f(x) = c_1 \cos(\ln x) + c_2 \sin (\ln x).\)
Berichten: 165
Ik had een - teken inderdaad.
Berichten: 165
Als er nu nog een extra f(x) bijkomt zonder de 1/x², wat doe je dan?
Dan krijg je immers geen mooie vergelijking niet meer die je kan oplossen, omdat je de machten niet kan samenrapen...
\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{1}{x}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{f}{x^2}+f(x)=0\Rightarrow f(x)=?\)
Berichten: 119
M.B. schreef: Als er nu nog een extra f(x) bijkomt zonder de 1/x², wat doe je dan?
Dan krijg je immers geen mooie vergelijking niet meer die je kan oplossen, omdat je de machten niet kan samenrapen...
\(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{1}{x}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{f}{x^2}+f(x)=0\Rightarrow f(x)=?\)
Dit is een bessel-vergelijking en heeft als oplossingen Bessel functies.
Bessel Differential Equation
Berichten: 165
Ah, juist, zo'n vieze oplossing.
Je kan ze inderdaad herschrijven in de vorm die ik het liefst hanteer:
\(x^2f^{''}+xy^{'}+(x^2-n^2)y=0\)
Maar wat als er nu bij de x² term tussen haken nog een constante zit.
Blijft die oplossing dan dezelfde, of komt er ergens een extra argument bij in de Besselfunctie?
Berichten: 165
Excuses,
Berichten: 119
M.B. schreef: Ah, juist, zo'n vieze oplossing.
Waarom zijn Bessel functies 'vieze' oplossingen? Ze zijn zeer vergelijkbaar met sinussen en cosinussen en dat zijn toch ook geen vieze oplossingen.
Berichten: 165
De rekenregels zijn iets omslachtiger.
Berichten: 165
Verder zou ik graag het volgende berekenen
\(Y_1(x)=\lim_{n\to 1}\frac{J_n(x)\cos{(n\pi)}-J_{-n}(x)}{\sin{(n\pi)}}\)
Dit levert 0/0 dus de l'hopital toepassen (teller en noemer afzonderlijk afleiden en dan terug de limiet proberen te nemen)
Wanneer ik de teller afleid naar n, kan ik dan de J_n(x) als constant beschouwen of niet?
Zoniet, wat is dan de afgeleide ervan?
