[natuurkunde] golfvergelijking

Lapzwans

'Het superpositie principe stelt dat als f en g oplossingen zijn van de golfvergelijking, de som van deze functies, f + g, eveneens een oplossing is. We zagen eerder dat iedere functie van de vorm y(x,t) = f (x−vt) voldoet aan de golfvergelijking. Laat zien dat f + g inderdaad een oplossing is van de golfvergelijking.' [In een andere vraag wordt gegeven y(x,t) = g(x+vt)]

Ik moet de twee vergelijkingen gewoon invullen in de golfvergelijking neem ik aan, maar ik weet niet precies hoe. Krijg ik dan

\(f(x - vt) = A\cos{k(x - \frac{\omega t}{k})}\)

en

\(g(x + vt) = A\cos{k(x + \frac{\omega t}{k})}\)

o.i.d.?

Phys

Ik moet de twee vergelijkingen gewoon invullen in de golfvergelijking neem ik aan, maar ik weet niet precies hoe.

De twee vergelijkingen? Er wordt gevraagd te laten zien dat een functie voldoet aan de golfvergelijking. Oftewel: stop de functie h=f+g in de golfvergelijking en laat zien dat dit voldoet.

thermo1945

Ik moet de twee vergelijkingen gewoon invullen in de golfvergelijking neem ik aan, maar ik weet niet precies hoe. Krijg ik dan
\(f(x - vt) = A\cos{k(x - \frac{\omega t}{k})}\)
en
\(g(x + vt) = A\cos{k(x + \frac{\omega t}{k})}\)
o.i.d.?

Het gaat om een willekeurige lineaire combinatie: h(x,t) = Acos(kx - ωt) + Bsin(kx - ωt)

Tommeke14

Heb je deze vorm gezien?

\( \frac{\delta f}{\delta x} - \frac{\delta f}{v² \delta t}= 0 \)

Hierin kan je dit gemakkelijk invullen, en via eigenschappen van afgeleiden dit bewijzen

Phys

Het gaat om een willekeurige lineaire combinatie: h(x,t) = Acos(kx - ωt) + Bsin(kx - ωt)

Nee. Het gaan om de functie f+g. Die cosinus en sinus verzin je zelf. Het punt van de opgave is nu juist om te laten zien dat iedere functie van de vorm Af(x-vt)+Bg(x+vt) voldoet aan de golfvergelijking: een golf die naar links loopt en een golf die naar rechts loopt. De verdere vorm van f en g maakt daarbij niets uit, alleen de afhankelijkheid (x-vt) en (x+vt) is relevant.

Het is echt een kwestie van de opgave letterlijk lezen en uitvoeren: stop h=f(x-vt)+g(x+vt) in de golfvergelijking en werk hersenloos uit.

Lapzwans

Ah, het is dus inderdaad nogal simpel, bedankt.

\(\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} + v^2 \frac{\partial^2 g}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}\)

Tommeke14

Op het eerste zicht klopt dat niet... ale, het is toch vreemde constructie

eerder:

\(\frac{\partial^2 (h+g)}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 (h+g)}{v^2 \partial t^2} =0\)

Afgeleide van som is som van afgeleide dus:

\(\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 h}{v^2 \partial t^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 g}{v^2 \partial t^2} = 0\)

h en g zijn golven waarvoor de golfvergelijking geldt, dus je krijgt 0 + 0 = 0

Lapzwans

Aannemende dat je moet die h juist f bedoelt, in je eerste vergelijking zeg je dat de tweede afgeleide van f + g naar de tijd gelijk is aan de tweede afgeleide van f + g naar de tijd maal 1/v². Dat lijkt me ook niet te kloppen, dat moet toch de tweede afgeleide van f + g naar x zijn?

Tommeke14

oops, je hebt gelijk, er zijn idd afgeleiden naar x bij

(ik had het beetje te letterlijk gekopieerd van jouw post)

en ja, f is hier h

\(\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 h}{v^2 \partial t^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 g}{v^2 \partial t^2} = 0\)

zo klopt het wel...

Phys

Lapzwans schreef:Ah, het is dus inderdaad nogal simpel, bedankt.

\(\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} + v^2 \frac{\partial^2 g}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}\)

Typfoutje denk ik (t->x)

Volledig uitgschreven:

\(\frac{\partial^2 h}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 (f+g)}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+v^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=v^2 \frac{\partial^2 (f+g)}{\partial x^2}=v^2 \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}\)

Lapzwans

Inderdaad, die t moest x zijn en dan klopt hij.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[natuurkunde] golfvergelijking

[natuurkunde] golfvergelijking

Re: [natuurkunde] golfvergelijking

Re: [natuurkunde] golfvergelijking

Re: [natuurkunde] golfvergelijking

Re: [natuurkunde] golfvergelijking

Re: [natuurkunde] golfvergelijking

Re: [natuurkunde] golfvergelijking

Re: [natuurkunde] golfvergelijking

Re: [natuurkunde] golfvergelijking

Re: [natuurkunde] golfvergelijking

Re: [natuurkunde] golfvergelijking