Springen naar inhoud

Priemmatrices


  • Log in om te kunnen reageren

#1

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 18 mei 2009 - 04:19

Bestaan er matrices die niet het product zijn van twee andere matrices?
(Uiteraard laten we de eenheidsmatrix maal gegeven matrix buiten beschouwing.)
Als ze bestaan, zou ik ze priemmatrices noemen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2009 - 06:17

1/ Zeg B =
(0 1)
(1 0)

C =
(1 0)
(0 -1)

Dan is A = (AB) B = (AC) C.

2/ Als A = B is AB = I, maar dan is

(0 1)
(1 0)
=
(0 -1)
(1 0)
*
(1 0)
(0 -1).

3/ De enige ring waar het argument uit 2/ niet werkt is karakteristiek 2 (dan is de tweede factor in het rechterlid de eenheidsmatrix), maar
dan kan je
(0 1)
(1 0)
=
(1 0)
(1 1)
*
(0 1)
(1 1)
gebruiken.

4/ Algemener : in een ring met karakteristiek niet 2 : neem eender welke spiegeling S t.o.v. de oorsprong
of een rotatiematrix R.
Dan is A = (AS) S = (AT) * (T^{-1}).

5/ De enige matrixgroep waar geen enkele matrix het product is van 2 "niet-trivale" matircies is deze van de 1x1-matrices over Z2.

#3

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 18 mei 2009 - 09:10

5/ De enige matrixgroep waar geen enkele matrix het product is van 2 "niet-trivale" matircies is deze van de 1x1-matrices over Z2.

Dat zouden dan de priemgetallen zijn?

#4

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2009 - 17:32

Z2 = de ring met twee elementen (0 en 1).

Een flauw antwoord op
"(Uiteraard laten we de eenheidsmatrix maal gegeven matrix buiten beschouwing.)"
zou geweest zijn : neem A = (AE) E met E = - de eenheidsmatrix,
maar in karakteristiek 2 is 1 = -1 en dan is E ook de eenheidsmatrix.

(0) kan je nog schrijven als (0).(0), maar voor (1) is er in Z2 bitter weinig keuze...
Eigenlijk had jij (0) = (0).(0) niet uitgesloten, dus 5/ uit mijn vorige antwoord was in feite verkeerd.

Enfin, als je de 1x1-matrices over Z (de gehele getallen) bekijkt, kan je ook (p) = (-p) (-1) schrijven...

Algemener : bij 1x1-matrices kan je altijd (a) = (au) . (u') schrijven met een eenheid u (u.u' = e).

Voor nxn-matrices met n > 2 gaan er altijd niet-triviale mogelijkheden (zelfs m.b.v. eenheden) zijn; bvb. de B uit mijn vorige antwoord bij n=2.

(Ik besef ook wel dat dit veel muggezifterij is om te zeggen dat ze meestal wel als een product geschreven kunnen worden.)

#5

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2009 - 17:51

De gangbare naam voor wat je beschrijft in ringtheorie is irreduceerbaar (irreducible),
nl. u is niet schrijven als een product v.w tenzij v of w een eenheid is.

Priem heeft een sterkere betekenis (als p een deler is van a.b, dan is p een deler van a of een deler van b),
althans in een integriteitsdomein : zie bvb. http://www.mathrefer...m/ring,irr.html

#6

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2009 - 19:38

De gangbare naam voor wat je beschrijft in ringtheorie is irreduceerbaar

In het Nederlands wordt hiervoor de term irreducibel gebrruikt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#7

yoralin

    yoralin


  • >100 berichten
  • 194 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 mei 2009 - 20:08

Tja, in Vlaanderen wordt 't anders vertaald.

"Irreducibel" op Wikipedia(nl) geeft je gelijk, maar in "Factorisatie" op Wikipedia(nl) gaat 't over niet-reduceerbaar.
Daar heeft een landgenoot van mij wellicht toegeslagen ?

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 mei 2009 - 21:03

Ik denk het; in Nederland (althans in mijn cursus) heet het irreducibel. Maar goed, back on topic!
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#9

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 367 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 mei 2009 - 08:19

Als je een ring hebt, heb je idealen, en als je idealen hebt, heb je priemidealen en je zou voortbrengers van hoofdidealen die ook priemidealen zijn eventueel wel priemelementen kunnen noemen.

Bestaan er matrices die niet het product zijn van twee andere matrices?
(Uiteraard laten we de eenheidsmatrix maal gegeven matrix buiten beschouwing.)
Als ze bestaan, zou ik ze priemmatrices noemen.

Je moet dan niet de eenheidsmatrix buiten beschouwing laten, maar alle eenheden (inverteerbare elementen) in de ring die je beschouwt. Een matrtix M is hierbij dus een eenheid in de ring R als er een andere matrix N in R bestaat zodanig dat N M = M N = 1R.

Je zou dan een priemmatrix kunnen definieren als volgt: een matrix M is een priemmatrix als deze geen eenheid is en bovendien voor alle matrices A, B geldt dat: als M = AB dan is A een eenheid of B een eenheid.

Vraag is voor welke matrixringen dat interessante priemmatrices oplevert.

In de verzameling van 2 x 2 matrices over de re\"ele getallen is elke inverteerbare matrix een "eenheid" (in ringtheoretische zin), Voor priemmatrices blijven dus alleen niet-inverteerbare (oftewel, determinant nul) matrices over.

In de groep van 2 x 2 matrices over Z wordt het wellicht interessanter, want dan zijn alleen de matrices met determinant 1 of -1 inverteerbaar. Maar ik gok dat elke matrix waarvan de determinant priem is, dan vanzelf priem is vanwege de regel dat det(A B) = det(A) det(B). Of er ook determinant 4 matrices bestaan die niet het product zijn van twee determinant 2-matrices betwijfel ik.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures